Geometria fractal: área e perímetro

1 GEOMETRIA FRACTAL A palavra fractal tem sua origem no latim, fractus, que pode ser traduzida como fração ou irregular. O fractal é um objeto que tem complexidade infinita, ou seja, é gerado por um processo que se repete infinitas vezes e que deixa o objeto cada vez mais complexo. A organização de um fractal é tão detalhada que não é possível determinar diretamente a posição de cada ponto. Para isso, leva-se em conta a relação entre as partes, ou seja, a característica do processo que é executado infinitamente. (1) (2) O primeiro pesquisador da geometria fractal foi Benoît Mandelbrot, que iniciou seus estudos na área após observar que a geometria clássica não abordava as verdadeiras formas da natureza. Um exemplo de tal observação é o relâmpago: sua propagação não se dá por uma reta, mas sim por um fractal, devido ao se comportamento irregular. (1) 2 APLICAÇÃO DE SÉRIES GEOMÉTRICAS EM FRACTAIS

2.1 Triângulo de Sierpinski
2.1.1 Definição Criado por Waclaw Sierpinski, o Triângulo de Sierpinski é, resumidamente, gerado por um processo de retirada da parte central de um triângulo eqüilátero e de criação de novas divisões no interior do espaço restante. Ou seja, a partir de um triângulo equilátero, os pontos médios de cada lado do mesmo são unidos, formando um quatro triângulos interiores. O triângulo central é retirado, e a etapa descrita é repetida para todos os retângulos restantes, como demonstra a Figura 1: (1) Figura 1: Representação da formação do Triângulo de Sierpinski. Fonte: Departamento de Informática e Estatística da UFSC.1
1 Disponível em: http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais;. Acesso em março de 2014.
2.1.2 Cálculo de área e perímetro O primeiro triângulo equilátero da Figura 1 possui lado L, área A e perímetro P. O lado dos triângulos da segunda etapa da Figura 1 se reduziu à metade em comparação com o primeiro, na medida em que sua área se tornou a multiplicação da área total A pela fração 3/4, e seu perímetro, o produto do