Geometria Conicas

Geometria Analítica: Estudos das Cônicas
Temos como base o uso de duas estratégias matemática (mudança de coordenadas): translação e rotação de eixos.
1)Translação de eixos:

Rotação de eixos:

Observe que a mudança de base indica que:

Atenção! Usaremos a formulação genérica:

Para estudar as cônicas em nosso curso de Geometria Analitica.

1) Por meio de rotação elimina-se os temos de primeiro grau (chamada técnica de completamento de quadrados), a versão tradicional é a seguinte:

O termo misto Bxy, é eliminado via uma rotação adequada.

Esboço do gráfico de uma cônica
Dada a cônica de equação:

esboce o seu gráfico no sistema de coordenadas xy .
Solução 1: Esboço do gráfico no sistema de coordenadas originais usando as transformações inversas
1. Obtenção da forma padrão em um novo sistema de coordenadas
O primeiro passo é encontrar um sistema de coordenadas apropriado que nos permita identificar a cônica que estamos estudando. Para isso, usamos o processo de diagonalização de matrizes para rotacionarmos a cônica e depois, se for o caso, uma translação.

Primeiro escrevemos a equação da cônica em forma matricial:

Primeiramente, vamos achar os autovalores da matriz A . O seu polinômio característico é

cujas raízes são

ou

que são os autovalores de A.

Agora, para cada valor de encontrado, vamos achar o autoespaço correspondente, que é solução do sistema:

Para

obtemos

=

~

A matriz acima representa o sistema de duas variáveis de somente uma equação: Teremos, portanto, uma variável livre, por exemplo que . Logo, o autoespaço associado a

de modo é O vetor (1,1) gera este subspaço; para obtermos uma base ortonormal para o subespaço, basta dividi-lo pela sua norma:

Logo, as matrizes D e P são :

D=

eP=

Portanto, a equação no novo sistema de coordenadas é
Portanto, a equação no novo sistema de coordenadas é

+
+ 82 = 0 ou Com a equação acima, ainda é difícil identificar a cônica. Porém, já sabemos que foi efetuada uma rotação em todo o sistema de