GabaritoP1

MAT 003

Prova 1 - Turma ECO/EEL

29/04/2014

(Q1) (20 pontos) Esboce a regi˜ ao cuja ´ area ´e dada pela integral dupla
Z
onde r1 (✓) =

⇡/2
⇡/4

Z

r2 (✓)

⇢ d⇢d✓, r1 (✓)

2 e r2 (✓) = 2 sen(✓). Aten¸ c˜ ao: n˜ao ´e necess´ario calcular a integral. sen(✓) + cos(✓)

(Q2) (30 pontos) Considere a integral tripla

ZZZ

W

p

x2 + y 2 + z 2 dxdydz, onde W ´e o s´olido contido no primeiro

octante entre as esferas x2 + y 2 + z 2 = 4, x2 + y 2 + z 2 = 9 e acima do cone 3z 2 = x2 + y 2 . Reescreva esta integral: a) usando coordenadas esf´ericas
b) usando coordenadas cil´ındricas
Aten¸
c˜ ao: em nenhum dos casos ´e necess´ario calcular a integral obtida.
(Q3) (20 pontos) Calcule o volume do s´ olido W = {(x, y, z) 2 R3 | x2 + y 2  2, x

y  z  x2 + y 2 + 4}.

!
(Q4) (30 pontos) Seja F = k r um campo vetorial, onde k ´e uma constante positiva e r(t) ´e a fun¸c˜ao vetorial que
!
representa uma curva diferenci´ avel . Suponha que F e r(t) est˜ao em R2 .
a) Considerando que r(t) est´ a definida para a  t  b, mostre que
Z
! k F · dr = (kr(b)k2 kr(a)k2 ).
2
b) Utilize o resultado do item a) para responder e justificar a seguinte quest˜ao:
!
Qual o trabalho realizado pelo campo F sobre uma part´ıcula que d´a uma volta completa na circunferˆencia x2 + y 2 = 1 no sentido anti-hor´ario?
!
c) Mostre que F ´e perpendicular a toda circunferˆencia de centro na origem e raio R > 0.

Respostas sem justificativa n˜ ao ser˜ ao consideradas. Boa prova!