GA CAP 10
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
CAPÍTULO 10
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS
1 TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO ℜ2
Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos
Coordenados com origem O(0,0). Sejam O1x1 e O1y1 os novos eixos coordenados com origem O1(h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,y) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas
x = x1 + h
,
P(x1,y1), em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que:
y = y1 + k chamadas de equações de translação no ℜ2.
Oy
Oy1
y
y1
k
O1
O
P(x,y)≡(x1,y1)
x1
Ox1
x
h
Ox
Observe que, fazer uma translação no ℜ2, é transladar o sistema antigo
(primitivo), paralelamente aos eixos Ox e Oy, para uma nova origem O1(h,k).
Exemplo (1): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O1(-3,2).
Solução:
Usando
as
equações
x1 = 5 − (−3) = 8
⇒ P(x1, y1) = (8,−5)
y1 = −3 − 2 = −5
de
translação,
teremos:
x1 = x − h
y1 = y − k
⇒
Oy1
Oy
O1(-3,2)
h=-3
-5
k=2
O
-3
8
Ox1
5
Ox
P(5,-3)≡(8,-5)
Exemplo (2): Determine a equação reduzida da elipse 2x2 + 3y2 − 8x + 6y − 7 = 0 , depois que a origem foi transladada para o ponto O1(2,-1).
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
x = x1 + h
x = x1 + 2
Solução: Fazendo:
⇒ na equação da elipse, teremos:
y = y1 + k
y = y1 − 1
2(x1 + 2)2 + 3(y1 − 1)2 − 8(x1 + 2) + 6(y1 − 1) − 7 = 0
⇒
2x12 + 3y12 − 18 = 0
⇒
2x12 3y12 18 x2 y2
+
=
⇒ 1 + 1 = 1 . Note que, a equação reduzida da elipse, antes da
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18
18
9
6
translação era
(x − 2)2 (y + 1)2
+
= 1 , cujo centro é o ponto C(2,-1), ou seja, foi
9
6
feita uma translação para o centro da elipse.
Oy
-1
Oy1
2
5
Ox
x
-1
C
Ox1
OBS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e y) da equação de uma cônica, devemos fazer