Física

Geometria Analítica - Aula 18

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IM-UFF

K. Frensel - J. Delgado

Aula 19

Continuamos com o nosso estudo da equação Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

1. Hipérbole
Definição 1
Uma hipérbole, H, de focos F1 e F2 , é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos P tais que o módulo da diferença das distâncias a F1 e F2 é igual a uma constante 2a > 0, menor do que a distância entre os focos 2c ≥ 0. H = { P | | d(P, F1 ) − d(P, F2 ) | = 2a } 0 ≤ a < c ; d(F1 , F2 ) = 2c

Observação 1
Para todo ponto P do plano, temos que |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| ≤ d(F1 , F2 ) , e a igualdade ocorre se, e somente se, P pertence à semi-reta de origem F1 que não contém F2 , ou à semi-reta de origem F2 que não contém F1 . Em particular, como 2a < 2c, nenhum ponto sobre as semi-retas acima pertence à hipérbole.

Fig. 1: Semi-retas que contêm apenas um dos focos.

De fato, pela desigualdade triangular, temos que d(P, F1 ) ≤ d(P, F2 ) + d(F2 , F1 ), e d(P, F2 ) ≤ d(P, F1 ) + d(F1 , F2 ).

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Logo, −d(F1 , F2 ) ≤ d(P, F1 ) − d(P, F2 ) ≤ d(F1 , F2 ) , ou seja, |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| ≤ d(F1 , F2 ) . Além disso, temos que |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = d(F1 , F2 ) se, e só se, d(P, F1 ) − d(P, F2 ) = d(F1 , F2 ) , ou seja, d(P, F1 ) = d(P, F2 ) + d(F1 , F2 ), ou d(P, F1 ) − d(P, F2 ) = −d(F1 , F2 ) , isto é, d(P, F2 ) = d(P, F1 ) + d(F1 , F2 ) . Se d(P, F1 ) = d(P, F2 ) + d(F2 , F1 ), temos que F2 ∈ F1 P, ou seja, P pertence à semi-reta de origem F2 que não contém F1 .

Fig. 2: F2 entre F1 e P.

Se d(P, F2 ) = d(P, F1 ) + d(F1 , F2 ), temos que F1 ∈ PF2 , isto é, P pertence à semi-reta de origem F1 que não contém F2 .

Fig. 3: F1 entre P e F2 .

Por isso, tomamos c > a na definição da hipérbole, pois se c < a e d(F1 , F2 ) = 2c, o conjunto {P | |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2a} representaria o conjunto vazio, e se c = a, o conjunto acima representaria a união da semi-reta de origem F1 que não contém F2 com a semi-reta de origem F2 que