fuvest 2010

FUVEST

1
Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema abaixo.

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha.
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q devese jogar a bola branca?
Resolução

Da semelhança dos triângulos V”MT e BNT, temos
FUVEST (2ª Fase) – JANEIRO/2010

6
1,2 – x x + 0,4
––––––– = ––––––– ⇔ x = –––
17
0,9
0,8
Outra resolução:
Da semelhança dos triângulo BNT, UQT e UHV ou da tangente dos ângulos α assinalados na figura, temos:
6
0,8 – y y 0,9 tg α = ––––––– = ––– = ––––––– ⇒ x = –––
17
0,4 x 1,2 – x

FUVEST (2ª Fase) – JANEIRO/2010

2
Seja f(x) = ͉x͉ – 1, ∀ x ∈ ‫ ,ޒ‬e considere também a função composta g(x) = f(f(x)), ∀ x ∈ ‫.ޒ‬
a) Esboce o gráfico da função f, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
b) Esboce o gráfico da função g, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5.

Resolução

a) Considerando a função f(x) = ͉x͉ – 1, ∀ x ∈ ‫,ޒ‬ temos: x – 1, se x ≥ 0 f(x) =
– x – 1, se x ≤ 0

Ά

cujo gráfico é y -1

1

x

-1

As intersecções do gráfico com os eixos são os pontos (1; 0), (– 1; 0) e (0; – 1).
b) Sendo g(x) = f[f(x)] e f(x) = ͉x͉ – 1, ∀ x ∈ ‫ ,ޒ‬resulta g(x) = f[f(x)] = ͉f(x)͉ – 1 = ͉͉x͉ – 1͉ – 1.
I) De acordo com o item anterior, o gráfico de f(x) = ͉x͉ – 1 é

FUVEST (2ª Fase) – JANEIRO/2010

y

-1

x

1
-1

II) O gráfico de h(x) = ͉͉x͉ – 1͉ é y 1

-2

-1

1

2

x

III) O gráfico de g(x) = ͉͉x͉ – 1͉ – 1 é

As intersecções do gráfico com os eixos coordenados são os pontos (2; 0), (0; 0) e (– 2; 0).
c) g(x) = 5 ⇔ ͉͉x͉ – 1͉ – 1 = 5 ⇔