Funções trigonométricas

0.1

Fun¸˜es Trigonom´tricas co e

Raz˜es Trigonom´tricas o e Dados dois triˆngulos retangulos de tamanhos diferentes e angulos de mesma a ˆ a b c medida, temos que eles s˜o semelhantes, ou seja, 0 = 0 = 0 a a b c

Logo, a b b b0 = 0 ) a0 b = ab0 ) = 0 . a0 b a a Assim fica bem definida a raz˜o a b a

para qualquer triˆngulo retˆngulo que tenha a a

um de seus ˆngulos igual a ✓, pois o valor dessa raz˜o ´ sempre o mesmo, indepena a e dente do tamanho do triˆngulo. a Atrav´s desse processo, identificamos seis raz˜es entre os lados do triˆngulo ABC e o a que denominamos raz˜es trigonom´tricas de ✓. S˜o elas: o e a • Seno: sen ✓ = b c.o = . a hip c c.a = . a hip b c.o sen ✓ = = c c.a cos ✓ Cossecante: cossec ✓ = Secante: sec ✓ = a 1 = b sen ✓

• Cosseno: cos ✓ = • Tangente: tg ✓ =

a 1 = c cos ✓ c 1 = b tg ✓

Cotangente: cotg ✓ =

Estabelecendo valores para essas raz˜es para cada angulo ✓, podemos resolver o ˆ problemas, como por exemplo, medir a largura de rios, a altura de edif´ ıcios, etc. Pelo Teorema de Pit´goras, obtemos algumas rela¸oes importantes: a c˜

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Fun¸˜o seno e cosseno ca Teorema 0.1 Existe um unico par de fun¸˜es definidas em R, indicadas por sen e cos, ´ co satisfazendo as propriedades: 1. sen 0 = 0. 2. cos 0 = 1. 3. Quaisquer que sejam os reais a, b, sen(a 4. Quaisquer que sejam os reais a, b, cos(a b) = sen a cos b sen b cos a.

b) = cos a cos b + sen asen b. sen x . cos x

5. Existe r > 0 tal que 0 < sen x < x < tg x, para 0 < x < r, onde tg x = Vejamos outras propriedades que decorrem das cinco enunciadas acima: 6. Para todo x 2 R, temos cos2 x + sen2 x = 1.

Assim, o ponto (cos x, sen x) pertence a circunferencia x2 + y 2 = 1, centrada na ` origem e de raio 1, a qual ´ denominada c´rculo trigonom´trico. e ı e ´ INTERPRETACAO GEOMETRICA: ¸˜ ˆ Podemos olhar x 2 R como a medida em radianos do arco AP cuja origem ´ o e ponto A = (1, 0) e a extremidade ´ P = (x, y) um ponto do c´ e ırculo trigonom´trico. e

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7.