Funções polinomiais

Funções Polinomiais

1.1 Denição
Uma função polinomial f : R → R é uma função da forma y = f (x) = anxn+ . . . + a3x3+ a2x2+ a1x + a0; onde: • n é o grau do polinômio;
• an, . . . , a3, a2, a1, a0, chamados coecientes do polinômio, são constantes (an6= 0);
• x é a variável independente. O domínio de toda função polinomial é R;
• y = f (x) é a variável dependente.
Exemplo 1.1 y = 4x3− 2x2+ 1 é um polinômio de grau 3; seus coecientes são 4, −2, 0 e 1.

1.2 Resultados Importantes
Identidade de Polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se os coecientes das parcelas de mesma potência são iguais.
Exemplo 1.2 Determine os valores de m, n e p para que os polinômios
P (x) = (m + n)x2+ 3nx − 4 e Q(x) = 2mx2− 6x + 4p sejam idênticos.
Solução: comparando-se as parcelas de mesma potência temos o sistema

 m + n = 2m  3n
4p

= −6
= −4 cuja solução é m = −2, n = −2 e p = −1 (verique!).

Polinômio Identicamente Nulo
O polinômio identicamente nulo é aquele no qual todos os coecientes são nulos, ou seja, y = f (x) = 0xn+ 0xn−1+. . . + 0x3+ 0x2+ 0x + 0 = 0, ∀x ∈ R.
Qual o grau de um polinômio identicamente nulo? o que você quiser (sinistro não?).

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CAPÍTULO 1. FUNÇÕES POLINOMIAIS

Teorema do Resto
A divisão do polinômio P pelo fator linear (x − r) é igual a P (r).

2 Exemplo 1.3 Determine o valor de m de modo que a divisão do polinômio f (x) = (m−4)x3−mx2 −3 por g(x) = x−2 dê resto 5.
Solução: pelo Teorema do Resto devemos ter f (2) = 5; logo f (2) = 8(m − 4) − 4m − 3 = 5
4m = 40 m = 10.
Pelo Teorema do Resto observamos que se r é uma raiz de um polinômio P , isto é, se P (r) = 0, então P é divisível por (x − r) (este resultado é conhecido como Teorema de D'Alembert). Generalizando este resultado, se P é divisível pelos fatores lineares (x − r1), (x − r2),. . ., (x − rn), então P também é divisível pelo produto
(x − r1)(x − r2) . . . (x − rn); onde os números r1, r2, . . . , rnsão todos raízes de P .