funções exponencial

Transformação Lineares
Se uma função f aplica um conjunto x num conjunto y, chamamos então x de domínio da função (ou transformação) f. O conjunto de todos os valores de f formam a imagem da transformação. A imagem de f é um subconjunto de y; ela pode coincidir com y. Chamaremos y de contradomínio da transformação.

x

No calculo estudamos funções reais f (x) definidas sobre um intervalo; aqui, o domínio é o intervalo (que podemos considerar como um subconjunto de V1), o contradomínio é V1 e a imagem é um subconjunto de V1. Consideramos também funções vetoriais de uma variável real: r=f(t). Aqui, o domínio era novamente um intervalo mais o contradomínio era V2. Encontramos também funções reais de duas variáveis: por exemplo, z Aqui, oi domínio é um conjunto de pares (x,y), é portanto, pode ser considerado como um subconjunto de V2. O contradomínio é de novo V1.
Estes exemplos sugerem ser importante estudar o caso geral de uma função ou transformação f cujo domínio seja um subconjunto E de um espaço vetorial U e cujo contradomínio seja outro espaço vetorial V. Começamos aqui tal estudo examinando a transformação mais simples: uma transformação linear de um espaço vetorial U no espaço vetorial V. Aqui o domínio é U e o contradomínio é V. É importante que entendamos as propriedades das transformações lineares, pois, como veremos, elas desempenham um papel no estudo de uma transformação geral que é análogo ao papel da tangente e da diferencial no estudo das funções reais de uma variável.
Sejam U e V espaços vetoriais sobre o mesmo conjunto de escalares. Diz-se que uma função ou transformação T de U em V é uma transformação linear ou uma função linear se, para todos os vetores u1, u2 em U e todos os escalares c, tivermos + )= + e (9-110)
Se T é uma tal transformação, então, por indução, encontramos de (9-110) que,

e, mais geralmente.

As