função composta e inversa

LISTA DE APOIO – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA - GABARITO

1) Sejam funções reais definidas por e . Determine:
Solução.
a) = f(5-2) = f(3) = 3(3) + 1 = 10.
b) = g[3(-2) + 1] = g(-5) = - 5 – 2 = – 7
c) = f(x – 2) = 3(x – 2) + 1 = 3x – 6 + 1 = 3x – 5.
d) = g(3x + 1) = (3x + 1) – 2 = 3x – 1.

2) Sejam tal que e tal que. Determine:
Solução.
a) = f(1 + 1) = f(2) = (2)2 – 2 (2) = 4 – 4 = 0.
b) = g[(2)2 – 2(2)] = g(4 – 4) = g(0) = 0 + 1 = 1.
c) = f(g[(4)2 – 2(4)] = f(g(16 – 8)) = f(g(8)) = f(8 + 1) = f(9) = (9)2 – 2(9) = 81 – 18 = 63.
d) = f[(-1)2 – 2(- 1)] = f(1 + 2) = f(3) = (3)2 – 2(3) = 9 – 6 = 3.
3) Sejam e funções reais definidas por , e . Determine:
Solução.
a) = f(x + 3) = (x + 3)3 = x3 + 6x2 + 27x + 27.
b) = g(x3) = x3 + 3.
c) = h(x3) = - (x3)2 = - x6.
d) = f(- x2) = (- x2)3 = - x6.

4) Sejam as funções reais definidas por e com a  R.
Determine a fim de que, para todo x real, =.
Solução.

i) f(g(x)) = f(3x – 2) = 2(3x – 2) + a = 6x – 4 + a ii) g(f(x)) = g(2x + a) = 3(2x + a) – 2 = 6x + 3a – 2
Se f(g(x)) = g(f(x)), então: 6x – 4 + a = 6x + 3a – 2.
Temos: a – 3a = 4 – 2. Logo – 2a = 2 implicando que a = - 1.

VERIFICAÇÃO: f(g(x)) = 6x – 4 – 1 = 6x – 5. g(f(x)) = 6x + 3(-1) – 2 = 6x – 3 – 2 = 6x – 5.
5) Sejam funções reais definidas por e .
Resolva, em R, as equações:
Solução.

i) f(g(x)) = f(x2 – 3) = (x2 – 3) – 1 = x2 – 4. ii) g(f(x)) = g(x – 1) = (x – 1)2 – 3 = x2 – 2x + 1 – 3 = x2 – 2x – 2. iii) g(g(x)) = g(x2 – 3) = (x2 – 3)2 – 3 = x4 – 6x2 + 9 – 3 = x4 – 6x2 + 6.
a).

b).

c).
6) Sejam e , qual é a solução da equação ?
Solução.
i) f(1) = (1)2 – 5(1) + 6 = 1 – 5 +6 = 2 ii) f(2) = (2)2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 iii) f(0) = (0)2 – 5(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6 iv) f(g(2)) = f[2(2) + 1)] = f(4 + 1) = f(5) = (5)2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6

7) Sendo g(x) = 3x + 1 e g(f(x)) = , determine f(x).
Solução.
g(f(x)) = 3.f(x) + 1. Igualando ao valor indicado no