Funçoes trigonométricas

Fun¸oes trigonom´tricas c˜ e

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MODULO 2 - AULA 17

Aula 17 – Fun¸oes trigonom´tricas c˜ e
Objetivos
• Definir o radiano.
• Estender as fun¸oes trigonom´tricas para angulos obtusos c˜ e
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Pr´-requisitos e • Defini¸oes das fun¸oes trigonom´tricas usando o triˆngulo retˆngulo. c˜ c˜ e a a • Teorema de Pit´goras. a Introdu¸˜o ca Na aula 15, vimos que o comprimento de um c´ ırculo de raio r ´ 2πr, e onde π ´ aproximadamente 3, 14159265. Intuitivamente isso significa que, se e quis´ssemos medir o comprimento do c´ e ırculo usando como unidade de medida seu raio, obter´ ıamos 2π como resultado da medida. Essa interpreta¸ao leva a c˜ ` id´ia natural de medir arcos de c´ e ırculo usando como unidade de medida seus raios. Por exemplo, um arco de c´ ırculo subentendido por um angulo central
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raso (um semic´ ırculo) mede π vezes seu raio, enquanto um arco subentendido por um angulo central reto mede π/2 vezes seu raio, pois representa um
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quarto do total. Motivados por essas observa¸oes, vamos definir uma unidade c˜ de medida de arcos e angulos que ser´ bastante utilizada: o radiano.
ˆ
a

O radiano
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Considere um c´ ırculo de centro O e raio r. Seja AOB um angulo central
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que subentende o arco AB , como mostra a figura 53.

A r o
B

ˆe
Fig. 53: AOB ´ um angulo central.
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CEDERJ

Fun¸oes trigonom´tricas c˜ e

ˆ
Dizemos que o angulo AOB mede 1 radiano (indicado por 1 rad) quando
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ˆe o comprimento do arco AOB ´ igual ao raio, isto ´, a raz˜o entre o comprie a mento do arco AB e o comprimento do c´ ırculo ´ 1. e Observe que ao considerarmos um outro c´ ırculo, tamb´m de centro O, e e raio r (veja figura54), podemos provar que a raz˜o entre o comprimento a do arco A B e r ´ igual a raz˜o entre o comprimento do arco AB e r e, e ` a portanto, igual a 1.
A'
A

o
B

Fig. 54:

B'

m(A B ) m(AB )
=
= 1. r r

Isso mostra que a defini¸ao de radiano n˜o depende do raio