Formulario Probabilidades e Estatística

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento de Matemática
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
FORMULÁRIO
PROBABILIDADES
Probabilidade condicional ou condicionada de A dado B: P( A | B) =

P(A ∩ B)
, se P(B)>0
P(B)

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Média, valor esperado ou esperança matemática:
− E(X) ≡ µ X = ∑ x i f X ( x i ) ,

e

E(φ(X) ) ≡ µ φ( X ) = ∑ φ( x i )f X ( x i ) , se X é discreta com função de

i

i

probabilidade fX e tomando valores em {x1, x2, ...};
− E(X) ≡ µ X =

+∞

∫ x f X (x ) dx , e

−∞

+∞

E(φ( X) ) ≡ µ φ ( X ) = ∫ φ( x ) f X ( x ) dx , se X é (absolutamente) contínua
−∞

com função densidade de probabilidade fX.

Variância:
2
2
− Var (X) ≡ σ X = ∑ ( x i − µ X ) 2 f X ( x i ) = E (X − µ X ) , se X é discreta com função de probabilidade fX

(

)

i

e tomando valores em {x1, x2, ...};
+∞

(

)

− Var (X) ≡ σ X = ∫ ( x − µ X ) 2 f X ( x ) dx = E (X − µ X ) , se X é (absolutamente) contínua com função
2

2

−∞

densidade de probabilidade fX.

Var( X) = E (X 2 ) − [E (X)]

2

Desvio padrão: σ X = Var (X)

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Se X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p:
p x (1 − p)1− x se x = 0 ∨ x = 1 f X (x ) = 
,
caso contrário
0
Se X tem distribuição de Binomial de parâmetros n e p:
 n  x
 p (1 − p) n − x se x = 0,1, 2,L f X ( x ) =  x 
,
 
0
caso contrário


Se X tem distribuição de Poisson de parâmetro µ:
 e −µ µ x

se x = 0, 1, 2, L , f X ( x ) =  x!
0
caso contrário


E(X) = p

e

Var(X) = p(1-p)

E(X) = np

e

Var(X) = np(1-p)

e

Var(X) = µ

E(X) = µ

ESTIMADORES
X=

Média Amostral:

1 n n

∑X

1 n −1

Variância Amostral: S 2 =

i

i =1

∑ (X n i =1

− X) =
2

i


1  n 2
 X i − nX 2 

n − 1  i =1



∑

ANÁLISE DE VARIÂNCIA k k - nº de amostras;

nj - nº de observações na amostra j; N=

∑n

j

- nº