fita de Möbius

Uma fita de Möbius ou banda de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efectuar meia volta numa delas.1 Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858.
Möbius estudou este objeto em 1858 tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a teoria geométrica dos poliedros. Johann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objeto alguns meses antes. O fato de tanto Möbius como Listing terem estudado alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas ideias esteja ligada a este matemático.
A importância do estudo deste objeto, na época, prendia-se à noção de orientabilidade, que não era ainda bem compreendida. Möbius introduziu também a noção detriangulação no estudo de objetos geométricos do ponto de vista topológico.
Möbius apenas publicou o seu trabalho em 1865, num artigo intitulado Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders.
Um problema matemático que está prestes a completar um século de idade pode finalmente ter sido resolvido. A resposta para esse enigma - a Conjectura de Poincaré - vale US$ 1 milhão, e o felizardo que parece ter achado a resposta é o pesquisador russo Grigori Perelman. Para receber o prêmio milionário - um dos sete oferecidos pelo Instituto Clay, dos EUA -, a resposta proposta pelo matemático precisa sobreviver à análise detalhada de outros especialistas, que ainda têm vários meses para tentar refutá-la.
O problema foi enunciado em 1904 pelo francês Jules Henri Poincaré (1854-1912), um estudioso da topologia algébrica, ramo da matemática que trata das propriedades geométricas que não mudam em um objeto caso ele seja deformado (veja quadro abaixo). Sua conjectura diz basicamente que "qualquer superfície simplesmente conexa pode ser deformada e virar uma esfera". Uma superfície simplesmente conexa não tem buracos. É o caso de uma esfera, mas não o de uma argola.
Isso fica mais fácil de entender com um exemplo prático.