fisica

1.3

Derivadas

Consideremos uma função f : [a, b] → R. Chamamos taxa de variação média de f em [a, b] à razão, f (b) − f (a)
.
b−a
Geometricamente a taxa de variação média corresponde ao declive da secante que une os pontos do gráfico de f , (a, f (a)) e (b, f (b)). y f (b)

y = f (x) f (a)

x

a

b

Chamamos taxa de variação instantânea ou derivada de f no ponto de abcissa a ∈ Df ao limite (quando existe) lim x→a

f (x) − f (a)
.
x−a

Nesse caso a a função f diz-se derivável em a e denota-se a derivada de f nesse ponto por f (a) ou

df
(a).
dx

A taxa de variação média [instântanea] também se designa por velocidade média [instântanea] ou taxa de crescimento média [instântanea], consoante o contexto em que se aplica.
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Dizemos que uma função é derivável (num intervalo) se for derivável em todos os pontos desse intervalo.
Tomando h = x − a concluímos imediatamente que a definição de f (a) também pode ser apresentada como o limite, quando existe, de lim h→0

f (a + h) − f (a)
,
h

o que pode ser útil nalguns cálculos.
Geometricamente, derivada de f em a corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)), recta essa cujo declive é o limite dos declives das secantes que unem os pontos do gráfico de f , (a, f (a)) e (x, f (x)), quando x tende para a. y f (b)

y = f (x)

f (x) f (a)

x a ← x

b

Tem-se que f é derivável em a se e só se admitir recta tangente ao seu gráfico no ponto (a, f (a)).

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Para determinarmos uma equação para esta recta tangente, comecemos por recordar que uma equação da recta com declive m que passa no ponto
(x0 , y0 ) é dada por, y − y0 = m(x − x0 ).
No caso da recta tangente tem-se x0 = a, y0 = f (a) e m = f (a). Portanto uma equação da recta tangente ao gráfico de f em (a, f (a)) é dada por y = f (a) + f (a)(x − a).
Exemplos
1. A taxa de variação média de f (x) = 5x2 + 2x no intervalo [0, 1] é f (1) − f (0)
= 7.
1−0
A taxa