Fisica I

Engenharia Civil

Física Geral e Experimental I

Notas de Aula

Prof: Eduardo Delmondes Silva

Cinemática Vetorial
Vetores na Mecânica
1 Movimento em Três Dimensões
Para descrever a trajetória de uma partícula é necessário um referencial de tal modo que as equações vetoriais dadas abaixo sejam válidas: r =

v

=

a

=

F

=

x eˆ i + y eˆ j + z eˆ k ,

Vetor Posição

dr dx dy dz
=
eˆ i + eˆ j + eˆ k , dt dt dt dt d2y d 2z d v d 2x eˆ i + 2 eˆ j + 2 eˆ k ,
=
2 dt dt dt dt
Xˆei + Yˆe j + Zˆek ,

(1)

Vetor Velocidade

(2)

Vetor Aceleração

(3)

Vetor Força.

(4)

1.1 Vetor Posição em Coordenadas Cartesianas Retangulares
Ao analisarmos o movimento de uma partícula no espaço devemos primeiro tomar um sistema de referência e a sua posição em relação ao mesmo.
A posição da partícula é descrita por um vetor, tendo-se, para o movimento em três dimensões, o vetor posição r , denotando um deslocamento em relação a uma determinada origem (nosso referencial). À medida que a partícula se move, o vetor r varia, ou seja, r é uma função vetorial do tempo t ; r = r (t ) r = r (t ) = x eˆ i + y eˆ j + z eˆ k

Figura 1: Vetor r em três dimensões.

2

(5)

Onde,
• x eˆ i → é o vetor ao longo do eixo x na direção do vetor unitário eˆ i ;
• y eˆ j → é o vetor ao longo do eixo y na direção do vetor unitário eˆ j ;
• z eˆ k → é o vetor ao longo do eixo z na direção do vetor unitário eˆ k

1.2 Função Derivada
Sendo y uma função definida em um intervalo aberto L e α0 um elemento deste intervalo. Denomina-se derivada de y no ponto α0 o limite lim α→α0

y(α) − y(α0 ) α − α0

ou

y(α0 + ∆α) − y(α0 )
,
∆α→0
∆α
lim

(6)

se o limite existir e for contínuo.
Podemos encontrar notações da derivada de y no ponto α0 , tais como:
• y ′ (α0 ) - Notação de Lagrange;
•

d y(α) dα = α=α0 dy dα α=α0

- Notação de Leibniz;

˙
• y˙ = y(α)
- Notação de Newton1 .
Portanto, temos
˙
y ′ (α) ≡ y(α)
≡ y˙ ≡

y(α) − y(α0 ) d y d y(α) y(α0 + ∆α) − y(α0 )
≡
≡ lim
≡ lim
.
α→α
∆α→0
0 dα dα α − α0
∆α

(7)

Sendo