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1ª LISTA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA – FATORIAL E PERMUTAÇÕES - GABARITO

1) Calcule: a) 5 ! b) 6! + 4! c) (3!)2 – (32)! d) e)
Solução. Desenvolvendo os fatoriais, temos:

a) b)
c) d) e)

2) Calcule a soma das raízes da equação (5x – 7)! = 1

Solução. O número cujo fatorial vale 1 pode ser 0 ou o próprio 1. Temos, então, dois casos a considerar.

3) Resolva a equação (2x – 3)! = 120

Solução. O número cujo fatorial vale 120 é 5, pois 5! = 5.4.3.2.1 = 120. Temos:

4) Simplifique as expressões:

a) b) c)

Solução. Um procedimento consiste em desenvolver os termos fatoriais até que fiquem iguais ao de menor representação, o que permite o cancelamento, considerando que os denominadores não se anulam.
Lembrete: n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! = ... (sucessivamente)

a) b)

c)

6) Calcule n nas expressões abaixo:

a) b) c)

Solução. Desenvolvem-se os fatoriais até a forma simplificada e trabalha-se com o 2º membro resolvendo a equação.

a)

b)

c) Observe que o numerador é a soma dos termos de uma progressão aritmética de razão 1.

7) (DESAFIO) Por quantos zeros termina o resultado de 1.000!?

Solução. Esse exercício envolve a observação do comportamento dos múltiplos de 10. Os múltiplos de 10 apresentam 0 na unidade simples. E o fator 10 é resultado da multiplicação 2 x 5. No desenvolvimento do fatorial aparecem mais números 2 do que 5, mas a partir de 5!, o produto (2x5) aparece de forma explícita ou “embutido” com 52 x 4, etc. Verifica-se que a questão passa a ser contar o número de vezes em que o fator 5 aparece, já que o dois somente não é suficiente. Veja o raciocínio.
i) Seja