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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
FACULDADE DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS, EXATAS E EXPERIMENTAIS

ÁLGEBRA LINEAR Lista 3 (Renate)

1) Quais das seguintes aplicações de em são lineares? Demonstre ou dê contra-exemplo.
a)
b)
c) (é uma translação)
d) F(x,y,z) = 3(x,y,z) (é uma dilatação)
e)
2) Verifique se são operadores lineares em . (Prove ou dê contra-exemplo.)
a)
b)
3) Existe um operador linear F de em tal que , e ? Explique.
4) Seja T: uma transformação linear tal que T(1, 0) = (1, 2,) e
T(0, 1) = (3, 0, 4). Calcule T(5, 2) e T(a,b).
5) Seja uma transformação linear tal que T(1,1) = e . Determine T(a,b).
6) Seja uma transformação linear tal que , e . Calcule e .
7) Demonstre que as seguintes funções de em são lineares.
a) , sendo A uma matriz fixa de ;
b) , sendo A uma matriz fixa de .
c) Na parte b), se , com , o que é F?
8) Demonstre: se T é uma função linear de V em W, então a imagem de T é um subespaço de W.
9) Demonstre: Se geram um espaço V, e se T é uma função linear de V em W, então geram a imagem de T.
10) Seja T é uma função linear de V em W com a seguinte propriedade: se é uma base de V, então é linearmente independente. Demonstre que T é injetora.

11) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
a) dada por
b) dada por
c) dada por
d) dada por
e) dada por
f) dada por , sendo
g) dada por ( é a transposta de A)
h) dada por
i) dada por . Prove inicialmente que S é linear.
12) Determine uma função linear de em cuja imagem é gerada por (2,1,1) e .
13) Determine uma função linear de em cuja imagem é gerada por e e .
14) Determine um operador linear de cujo núcleo é gerado por (1, 1, 0, 0) e (0, 0, 1, 0).
15) Determine um operador linear de cujo núcleo tenha dimensão 1.
16) é uma