Figuras de lissajous

FIGURAS DE LISSAJOUS INTRODUÇÃO Consideremos o caso em que nas placas horizontais do osciloscópio são aplicadas tensões senoidais de freqüência igual ou múltipla da tensão aplicada a placa vertical. As figuras que se obtém na tela, devido à interação do feixe eletrônico com os campos elétricos variáveis e perpendiculares entre si, são denominados figuras de lissajous. Em cada instante o feixe atingirá a tela em uma posição diferente. A situação volta a se repetir ao final de um tempo que é mínimo múltiplo comum dos períodos de variação das duas tensões. O efeito visual é o de uma trajetória contínua que se inscreve em retângulos cujos lados correspondem às deflexões máximas do feixe eletrônico nas direções vertical e horizontal respectivamente. Vamos entender melhor estas figuras analisando dois casos: A- Quando as tensões senoidais aplicadas possuem a mesma freqüência porém, com uma defasagem de θ. Suponhamos que as tensões senoidais aplicadas na horizontal e na vertical, respectivamente, sejam X e Y e de mesma freqüência ω. Então: X = X0 sen (ω. t) (1) (2) Y = Y0 sen (ω.t + θ) Onde θ é a defasagem entre as duas ondas. Se eliminarmos o tempo e a freqüência entre as duas equações, teremos a equação de uma elipse, da seguinte forma: Multiplicando os dois lados da equação 1 por cosθ teremos:
X cosθ = sen ω.t.cosθ X0

(3)

e abrindo a equação 2 pela relação trigonométrica; Y = sen ω.t.cosθ + sen θ.cos ω.t Y0 Subtraindo 4 de 3 teremos; Y X . cos θ = sen θ.cos ω.t Y0 X0 Elevando-se as equações 4 e 5 ao quadrado e somando-as;
X X0
2

(4)

(5)

Y XY cosθ + Yo X 0Y0

2

= sen2 θ

(6)

A equação 6 é a equação de uma elipse qualquer que seja θ, elipse esta que está inscrita num retângulo de lados 2X0 e 2Y0 como mostra a figura 1:
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Figura 1

Há dois casos particulares para a equação 6; 1) para θ = 0°;
X Y − X 0 Y0
2

=0

Equação de uma reta; X = a. Y 2) para θ = 90°; (supondo as duas ondas de mesma amplitude) X2 + Y2 = 1 Que é a equação de