Fatorial

Aplicações

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xn é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

[editar] Como Calcular Fatoriais

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10100.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

\left({n \over 3}\right)^n 2).

O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como

n!^{(k)} = \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{se }0\le