Exponencial de matrizes

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[Indíce]
[Introdução]
[Descrição do ficheiro ExpMatriz.MTH e exemplos]
[Listagem do ficheiro ExpMatriz.MTH]
[Agradecimentos e Referências]

2. Exponencial de matrizes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, de coeficientes complexos. Para qualquer número real t, a série [pic] é (absolutamente) convergente, pelo que podemos definir uma função de variável real pondo [pic]. Prova-se que esta função é diferenciável em qualquer ponto do seu domínio e que [pic]. Mais precisamente, tem-se o seguinte resultado:

Teorema 1
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Então [pic] é a única solução do problema de valor inicial
[pic]

Demonstração: ver, por exemplo, (Ap2(.

Observação:
A exponencial assim definida tem muitas propriedades em comum com a função exponencial usual: por exemplo, [pic]. Não é, no entanto, válido que [pic] para matrizes A e B quaisquer (apresentaremos mais adiante um contra-exemplo), embora isto seja válido se [pic]

A solução do sistema homogéneo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes definido por [pic] com condição inicial [pic]onde [pic] é um vector de dimensão n, é dada pois por [pic]. Daqui resulta a enorme importância de dispôr de processos práticos para calcular [pic]. É imediato constatar que o cálculo directo a partir da série definidora é, em geral, impraticável, a não ser em casos muito particulares (matrizes diagonais, por exemplo). Começaremos por demonstrar uma proposição simples que vai permitir resolver o problema para matrizes 2x2 e 3x3.

Em tudo o que se vai seguir, consideraremos sempre as matrizes sobre o corpo complexo, ainda que os seus coeficientes sejam reais. Assim, os valores próprios coincidem com as raízes (em C) do polinómio característico. Diremos que um valor próprio é simples, duplo, triplo,.... quando ele for raíz simples, dupla, tripla,... do polinómio característico; quando falarmos da multiplicidade de um valor próprio, estaremos sempre a