Exercícios resolvidos

RESOLUÇÃO DA PROVINHA – ENG. CIVIL – ÁLGEBRA LINEAR –SET/2013

1)Conceituar:
a)Subespaço vetorial. .
Resp.
Um conjunto não vazio V, subconjunto de um espaço Vetorial W é subespaço vetorial de W se são válidas as duas condições:
i)Dados u, vЄV, tem-se (u+v)ЄV; ii)Dados uЄV e αЄR, tem-se αu ЄV

b)Combinação linear
Um vetor v é combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn se existem reais tais que v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn .

c)Vetores LI – linearmente independentes
Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LI ou Linearmente Independente se a equação a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 admite somente a solução nula.

2)Verificar se o conjunto S = {(x, y, z) | x = 4y, z = 0} é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Resp.:
Sejam os vetores de S: v1 = (4y1; y1; 0) e v2 = (4y2; y2; 0) e número α real:
i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2); y1+ y2; 0) ЄR3 ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3.
Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3.

3)Determinar a dimensão e criar uma base para os espaços vetoriais:
a) {(x, y, z) | y = 2x}
Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (x; 2x; z). tem-se:
Dimensão = 2 (número de variáveis do vetor genérico).
Base: já que a dimensão é 2, então uma base desse espaço vetorial tem 2 vetores. Então cria-se dois vetores particulares a partir do genérico:
Para x = 1 e z = 2 ==> v1 = (1, 2, 2). Para x = 4 e z = 5 ==> v2 = (4; 8, 5) E uma base é B = {v1; v2} = {(1; 2; 2), (4; 8; 5)}

b){(x, y, z) | x = 3y e z = -y}
De forma semelhante, tem-se:
Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (3y; y; -y). tem-se:
Dimensão = 1 (número de variáveis do vetor genérico).
Base: já que a dimensão é 1, então uma base desse espaço vetorial tem 1 vetor. Então cria-se um vetor particular a partir do genérico:
Para