Exercícios Ponto Reta e Plano

Exercícios propostos

01. Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir:

r
a) r passa pelo ponto P( −2,−1,3) e tem a direção do vetor u = ( 2,1,1) .
b) r passa pelos pontos A(1,3,−1) e B(0,2,3) .

02. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o ponto P pertence à reta r:
a) P( −2,1,1) e r : X = (1,0,0) + h( −1,2,1); h ∈ IR
x = 1 − t

b) P( 2,−1,−7) e r :  y = 2 + 3t ; t ∈ IR
z = −5 + 2t

z
 1 
c) P 2, ,3 e r : x − 1 = 2( y − 2) =
3
 2 
03. Escreva uma equação do plano α nos casos a seguir:
a) α passa pelos pontos A(1,0,2) e B(2, −1,3) e é paralelo ao vetor r v = ( 0,1,2) .
→

b) α passa pelos pontos A( 3,1,−1) e B(1,0,1) e é paralelo ao vetor CD , sendo C(1,2,1) e D(0,1,0) .
c) α passa pelos pontos A(1,0,2), B(1,0,3) e C(2,1,3) .
04. Verifique em cada um dos itens abaixo se o ponto P dado pertence ao plano π.
a) P(1,−1,0), π : X = (2,1,3) + h(1,0,1) + t(0,1,0); t e h ∈ IR
b) P( 2,1,3), π : x + y − 2z + 3 = 0.
x = 1 − h + t

c) P(3,2,2) , π :  y = 2 − h − t ; t, h ∈ IR
z = 1 − h


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05. O ponto P( 2,2,−1) é o pé da perpendicular traçada do ponto Q(5,4,−5) ao plano π. Determine uma equação de π.
06. Determine um vetor normal ao plano:
a) determinado pelos pontos P( −1,0,0), Q(0,1,0) e R(0,0, −1) .
b) α : 2x − y + 1 = 0.
c) que passa pelos pontos A(1,0,1) e B(2,2,1) e é paralelo ao vetor r v = (1,−1,3).
x = 1 + t + h

d) α :  y = 1 − t + 2h ; t e h ∈ IR
z = h

07. Determine as equações dos planos coordenados na forma geral.
 2x + y + 2z = 1
08. a) Verifique se P(1,3,−2) pertence a r : 
.
− x + y + 3z + 4 = 0

b) Escreva uma equação da reta r passa pelo ponto P(1,1,1) e tem a direção x = 1 + 2t

de um vetor normal ao plano α :  y = 2 − t + 3h ; t e h ∈ IR .
z = t + h

09. Determine a equação geral do plano β paralelo ao plano
x = 1 + h + 2t

α :  y = 2 + 2h + t ; h e t ∈ IR e que
 z = 3t

a) passa pelo ponto P(3,2,0);
b) passa pela origem do sistema de