Exercícios GA

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EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA

01) Demonstre vetorialmente que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo as bases e igual a sua semi-soma.
02) Demonstre vetorialmente que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo as bases e é igual à semi-diferença das referidas bases.
03) Provar vetorialmente que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.
04) Mostre, vetorialmente, que a área de um trapézio é o produto da altura pela semi-soma das bases.
05) Demonstrar vetorialmente que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.
06) Provar vetorialmente que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos lados.
07) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
08) Três forças F , de mesmo módulo, podem equilibrar-se? Justifique vetorialmente e faça uma representação.
R.: Sim, desde que o ângulo entre elas seja de 120o
09) Determinar R = u ⋅ v + u ⋅ w + v ⋅ w , sabendo que u + v + w = 0 , | u | = 1 , | v | = 2 e | w | = 3 .
R.: R = −7

f1 , f2 , f3 , f4 , f5 dispostas como mostra a figura abaixo, determinam um

10) As forças

hexágono regular. Determine o módulo da força resultante em função do módulo da f1 .
R.: | FR | = 6 | f1 |

f2

f1

f3 f5 11)

Dados

a = (3,1,−2)

e

f4

b = (0,2,1) ,

determine

o

valor

da

expressão

A = (2a + b) ⋅ (2a − b) .

vetorial

R.: A=51

12) Decomponha o vetor v = (−1,2,−3) em dois vetores a e b tais que a // w e b ⊥ w , com

3 5
 1 1

R.: a = 1, ,−  e b =  − 2, ,− 
2 2
 2 2

13) Dados os vetores v1 = (2,1,3) , v 2 = (−4,0,−6) , v 3 = (4,−1,2) , determine o vetor v ortogonal a v1 e v 2 e tal que v ⋅ v 3 = 8.
R.: v = (3,0,−2)

w = (2,1,−1) .

14) Sejam os vetores a = (1,−m,−3);b = (m + 3,4 − m,1) e c = (m,−2,7) . Determine m para que

a ⋅ b = (a + b) ⋅ c.