Exercícios de ética e relações humanas no trabalho

Capítulo 3

Geometria

107

108

Retângulo áureo e divisão áurea
Geraldo Ávila

1. O retângulo áureo Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo ABCD (Figura 1) com a seguinte propriedade: se dele suprimirmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.

Figura 1

Se a + b e a são os comprimentos dos lados do retângulo original, a definição acima se traduz na relação

(1)

109

Como veremos logo adiante, esse tipo de retângulo tem muitas propriedades interessantes que justificam o qualificativo “áureo”. Ele tem sido considerado por arquitetos e artistas como o retângulo mais bem proporcionado e de grande valor estético. A Figura 2 reproduz a foto de uma residência suburbana de Paris, projetada pelo famoso arquiteto Le Corbusier, na qual ele utiliza o retângulo áureo. Há aí dois retângulos áureos, um deles representado pelo corpo inteiro da casa e o outro, disposto verticalmente, representado pela parte da casa à esquerda da escada.

Figura 2

O Partenon (Figura 3), ou templo da deusa Atena, uma das mais admiradas obras da arquitetura universal, revela, em seu frontispício (Figura 4) um quase exato retângulo áureo. Todavia não há evidencia histórica de que, ao construir o templo no 5o século a.C., os arquitetos de Péricles tenham conscientemente usado o retângulo áureo.

Figura 3

Figura 4

110

Voltemos à relação (1). Dela decorre, por uma propriedade bem conhecida das proporções, que:

ou seja,

.

Isto significa que se o retângulo de lados a + b e a é áureo, então também o é o retângulo de lados a e b.

Figura 5

Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc. (Fig. 5). Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação (1), formemos a seqüência a + b, a, b, a2, a3, ..., onde a2 = a – b, a3 = b – a2 = 2b – a, e, em geral an = an – 2 – an – 1. Trata da seqüência a