Exercico Logica

Disciplina: Lógica Aplicada
Assunto: Capítulo 5 do Material Principal
Professora: Roberta Lopes

LISTA DE EXERCÍCIO 03

Nos exercícios 1 a 5 consideraremos L a linguagem dos corpos e conjuntos numéricos. A saber, L é constituído pelas constantes 0 e 1, os símbolos funcionais + e · e o símbolo relacional ≤. Chamaremos de axiomas de corpo o seguinte conjunto de sentenças da linguagem L:

1. 0 = 1;
2. ∀x(x + 0 = x);
3. ∀x((x = 0) → (x · 1 = x));
4. ∀x∀y(x + y = y + x);
5. ∀x∀y(x · y = y · x);
6. ∀x∀y∀z((x + y) + z = x + (y + z));
7. ∀x∀y∀z((x · y) · z = x · (y · z));
8. ∀x∃y(x + y = 0);
9. ∀x((x = 0) → ∃y(x · y = 1));
10. ∀x∀y∀z(x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

1. Considere M o seguinte modelo do exemplo proposto após o Corolário 5.4. Mostre que M satisfaz todos os axiomas de corpo.

2. Considere M o modelo do exercício anterior e σ uma valoração satisfazendo
 σ(x) = 1
 σ(y) = 2
 σ(z) = 3
Verifique quais das seguintes fórmulas abaixo são verdadeiras no modelo M mediante a valoração σ (entenda t < s como abreviatura de (t ≤ s)∧¬(t = s)).
(a) x + y = 0; F
(b) ∀y((y = 0) → (y · x = y)); V
(c) ∀x(x · 0 = 0); V
(d) ∃x((y = x) ∧ (y ≤ x));(e) ∀y∃x((y = x) ∧ (y ≤ x)); V
(f ) y ≤ 1; V
(g) (y ≤ x) → (x ≤ y); F
(h) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ z)) → (x ≤ z); V
(i) ((0 < y) ∧ (0 < z)) → (0 < y · z) V
(j) ∀x((x + y = 0) → ((0 < x) ↔ ¬(0 < y))) F

3. Para cada fórmula A contendo variáveis livres do exercício anterior, considere o fecho universal de A a sentença ∀x∀y∀z(A). Verifique se essas sentenças são verdadeiras no modelo M do exercício 1.

4. Seja Γ o conjunto dos axiomas de corpo. Para cada sentença A abaixo construa um modelo (se existir) que satisfaça Γ∪{A} e outro (se existir) que satisfaçaa Γ∪{¬A}. Justifique.

(a) 1 + 1 = 0;
Não Existe

(b) ∀x(x · 0 = 0);
Existe
(c) ∀x∀y∀z(((x ≤ y) ∧ (y ≤ z)) → (x = z));
Não Existe
(d) ∃x(x · x = 1 + 1);
Existe
(e) ∀x∃y((y ≤ x) → (x ≤ y));
Existe
(f ) ∃x∃y((x = 0) ∧ (y = 0) ∧ (x · y = 0));
Existe
(g) ∀x((¬(x ≤ 0)) → ∃y(y · y) = x);
Existe
(h) 1