Exercicios0

Exerc´ıcios complementares de C´alculo 2
A. Para cada um dos ´ıtens abaixo, encontre o polinˆ omio de Taylor de grau n no ponto a e apresente a forma de Lagrange do resto.
1. f (x) = cos(3x), a =

π
, n=6
6

1
4. f (x) = log(3x), a = , n = 4
3
1
, a = 0, n = 4
1 + 2x
√
6. f (x) = x, a = 3, n = 4

2. f (x) = xex , a = 1, n = 3

5. f (x) =

1

3. f (x) = (1 − x) 2 , a = 0, n = 4

B. Determine se as sequˆencias abaixo s˜ ao convergentes ou divergentes e, para as sequˆencias convergentes, encontre o seu limite.
√ ∞
∞
∞
3
3n
1. 3 n n=1
11. 3 n
6.
n=1
2n + 1010 n=1
∞
π
∞
∞
2. sin n
1
1 n2 5 n=1 7.
−
12. √ n n + 1 n=1
4n4 + 5 n=1 n ∞
3.
∞ n2 ∞
2n n=1 n! n
8.
n
13.
3 n=1
∞
nn
5n3 − 2n n=1 √
∞
4. n n4 + 3n2 − 10 n=1
9.
10n
∞
n=1
14. n2 cos(nπ) n=1
√
∞ n ∞ n+2 n
√
5.
10.
15. {log(n + 1) − log(n)}∞ n+1 2 n n=1 n=1 n=1
C. Partindo da desigualdade
(1 + x)n ≥ 1 + nx ≥ 1, v´alida ∀x ∈ IR e n ∈ IN , mostre que se escolhermos N > a/ε, com N ∈ IN e a, ε > 0, a, ε ∈
1
IR ent˜ao, para qualquer ε > 0, teremos que |a n − 1| < ε sempre que n > N e, portanto,
√
limn→∞ { n a} = 1. Posteriormente, verifique que esta desigualdade n˜ao ´e adequada para mostrar
√
que limn→∞ { n n} = 1. Obtenha este resultado utilizando a desigualdade
(1 + x)n ≥ 1 +

n(n − 1) 2 x ≥ 1.
2

D. Resolva:
1. Determine o valor de π com precis˜ao de 4 casas decimais.
√
2. Determine o valor de 3 9 com precis˜ao de 3 casas decimais.
3. Determine o valor de e = exp(1) com precis˜ao de 3 casas decimais.
E. Mostre que, se 0 < a < b, ent˜ao lim √ n an + bn = b.

n→∞

C´alculo 2 - Prof. Yuri Dumaresq Sobral - 01/15

F. Verifique os limites das sequˆencias abaixo:
a) lim

1+

n→∞

1 n n

=e

b) lim

1+

n→∞

1 n2 n

=1

c) lim n→∞ 1+

2 n n

= e2

G. Determine uma f´ormula geral para as sequˆencias abaixo.
1. {1, −4, 9, −16, 25, . . .}

3. {1, 5, 9, 13, 17, . . .}

2. {0, 3, 8, 15, 24, . . .}

4. {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, . . .}

H. Analise as sequˆencias abaixo, determinando se s˜ ao limitadas, mon´otonas e