Exercicios de INDUÇÃO MATEMÁTICA

Teoria dos números - Exercícios de Indução Matemática
Os exercícios abaixo são demonstrados usando a seqüência:
(1) Verificar se a propriedade é válida para um certo valor de “n”
(2) Supor a propriedade válida para “n”. (hipótese de recorrência)
(3) Provar que a propriedade é válida para “n + 1”
1 – Demonstrar por “indução matemática”:
(a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) , n é n° natural".

SOLUÇÃO
(1) Para n = 1 (1/6)(1 + 1)(2 + 1) = (1/6)(2)(3) = (1/6)(6) = 1 = 12.
(2) Hipótese: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1).
(3) Provar 12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = [(n+1)/6](n + 2)(2n + 3)
Demonstração:
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 =
= (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 (observe que a soma até n2 é (n/6)(n + 1)(2n + 1) 
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n +1)[(n/6)(2n + 1) + (n + 1)] =
= (n + 1)(1/6)(2n2 + n + 6n + 6) = (n + 1)(1/6)(2n2 + 7n + 6) * =
= (n + 1)(1/6).2(n + 3/2) .(n + 2) = [(n + 1)/6](n + 2)(2n + 3) c.q.d.
* Nota:- O polinômio ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2 pode ser decomposto em a(x – x1)(x – x2).
Como as raízes de 2n2 + 7n + 6 são –2 e –3/2, temos 2n2 + 7n + 6 = 2.(n + 3/2)(n + 2).
(b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2, n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1, temos: 13 = 1 e (12/4)(1 + 1)2 = (1/4)(4) = 1.
Portanto, a propriedade é válida para n = 1.
(2) Hipótese 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2
(3) Provar 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = [(n+1)2/4](n + 2)2.
Demonstração:
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = (n2/4)(n + 1)2 + (n + 1)3 =
= [(n + 1)2].[(n2/4) + (n + 1)] = [(n + 1)2].(1/4)(n2 + 4n + 4) =
= [(n + 1)2/4](n + 2)2 c.q.d.
(c) 12 + 32 + 52 + ..... + (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) , n é n° natural".

SOLUÇÃO
(1) Para n = 1, temos: 12 = 1 e (1/3)(4.12 – 1) = 1.
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1 .
(2) Hipótese:
12 + 32 + 52 +...+ (2n – 1)2 =