Exercicios calculo de varias variaveis

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Ao ser separado pelas retas, o retângulo terá o seguinte aspecto:

Podemos ver que o retângulo ficou dividido em quatros retângulos, cujas áreas são dadas por:

𝑥𝑦

(𝑎 − 𝑥)𝑦

(𝑎 − 𝑥)(𝑏 − 𝑦)

𝑥(𝑏 − 𝑦)

Devemos analisar a soma dos quadrados dessas áreas, que forma a seguinte função:

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦)2 + 𝑦 2 (𝑎 − 𝑥)2 + (𝑎 − 𝑥)2 (𝑏 − 𝑦)2 + 𝑥 2 (𝑏 − 𝑦)2
Devem ser encontrados os pontos críticos da função no domínio 0 < 𝑥 < 𝑎 e 0 < 𝑦 < 𝑏
Derivando a função, encontramos suas derivadas parciais, que são dadas por:

𝜕𝑓
(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 2 − 2𝑦 2 (𝑎 − 𝑥) − 2(𝑏 − 𝑦)2 (𝑎 − 𝑥) + 2(𝑏 − 𝑦)2 𝑥 = 0
𝛼𝑥
𝜕𝑓
(𝑥, 𝑦) = 2𝑦𝑥 2 + 2𝑦(𝑎 − 𝑥)2 − 2(𝑎 − 𝑥)2 (𝑏 − 𝑦) − 2(𝑏 − 𝑦)𝑥 2 = 0
𝛼𝑦
Colocando em evidência e simplificando, obtemos:

(2𝑥 − 𝑎)(𝑦 2 + (𝑏 − 𝑦)2 ) = 0
(2𝑦 − 𝑏)(( 𝑎 − 𝑥 )2 + 𝑥 2 ) = 0
Percebe-se que, nas duas equações, um dos fatores é uma soma de dois quadrados que nunca se anulam. Por isso, as únicas soluções são 𝑥 =

𝑎
2

e 𝑦=

𝑏
2

Calculando as derivadas de segunda ordem, obtemos:

2((𝑏 − 𝑦)2 + 𝑦 2 )
2(𝑎 − 2𝑥)(𝑏 − 2𝑦)
Calculando os valores no ponto crítico, obtemos a matriz hessiana

𝑎 𝑏
2𝑏 2
𝐻( , ) = [
2 2
0

0 ] = 4(𝑎𝑏)2 > 0
2𝑎 2

Efetuando os cálculos, vemos que esse ponto crítico é um ponto de mínimo local. Podemos ver isso geométricamente, pelo gráfico das derivadas de segunda ordem:

Para verificar o crescimento e decrescimento nas fronteiras da função, devemos analisar o crescimento e decrescimento das seguintes funções de uma variável, no domínio 0 < 𝑥 < 𝑎 e
0 < 𝑦 < 𝑏. Para gerar os gráficos, os valores de a e b foram definidos como 1.

𝑓(𝑥, 0) = (𝑎 − 𝑥)2 𝑏 2 + 𝑥 2 𝑏 2
𝑓(𝑥, 𝑏) = (𝑥𝑏)2 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑥)2
𝑓(0, 𝑦) = 𝑦 2 𝑎2 + 𝑎2 (𝑏 − 𝑦)2
𝑓(𝑎, 𝑦) = (𝑎𝑦)2 + 𝑎2 (𝑏 − 𝑦)2
𝑎

Analisando a primeira equação, vemos que ela tem um mínimo global em 𝑥 =

2

𝑎

Analisando a segunda equação,