Exercicio de Fixação

Resumo de Geometria Euclidiana
2013.2 DM.UFRPE
José Alan Farias

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Conceitos primitivos:

(Sem denição precisa, apenas intuitiva)

1) Ponto: Aquilo de que nada é parte. Dois pontos se distinguem apenas por suas localizações. 2) Linha: Comprimento sem largura.
3) Superfície: Aquilo que só tem comprimento e largura(dimensão 2).
4) Plano: Superfície que é a "união"(por cada ponto passa uma reta totalmente contida

nele) de retas.

ATENÇÃO: O ambiente de nossa geometria será sempre um plano xado.
Axioma/Postulado: Noção aceita sem a necessidade de demonstração.
Axiomas de Incidência: (Incidir=passar

por)

I1 ) Para toda reta existem pontos sobre ela e fora dela.
I2 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Proposição 1: No plano, duas retas distintas ou se intersectam ou têm um único ponto em comum.

1

.

Denição 1:
Retas paralelas: Não têm pontos em comum.
Retas concorrentes: Têm um único ponto em comum.
Retas coincidentes: Têm ao menos dois pontos em comum.
Axiomas de Ordem: (Ordem=ordenar

pontos)

O1 ) Para três pontos distintos de uma reta, apenas um está localizado entre os outros dois.

Denição 2: Segmento determinado pelos pontos A e B:
AB = {A, B}∪ {pontos entre A e B}

Denição 3: Semi-reta determinada pelos pontos A e B, com origem em A:
SAB = {A, B}∪ {pontos C, tal que B está entre A e C}

Proposição 2:
a) SAB ∪ SBA = rAB (reta determinada por A e B)
b) SAB ∩ SBA = AB
O2 ) Sempre existem:

i) Um ponto entre outros dois distintos. ii) Um ponto C tal que A está entre C e B, com A e B distintos.
Denição 3:(Lados de uma reta)
a) A,B do mesmo lado de r se AB ∩ r = φ
b) A,B de lados opostos de r se AB ∩ r = φ
AB = {A, B}∪ {pontos entre A e B}

2

.

Denição 4:(Semi-Planos)
a) Determinado pelo ponto A e pela reta r: πAr ={B; AB está em um mesmo lado de r}
b) Oposto determinado por A e r: π−1 Ar ={B; AB estão em lados opostos de r}
AB = {A, B}∪ {pontos entre A e B}
O3 ) Uma