etica e moral

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
CURSO DE MATEMÁTICA

1 ª AVALIAÇÃO DE Fundamentos de Análise

Data: __/__/__

Nome:
N° DE MÁTRICULA: RG:
PÓLO: ASSINATURA:

INSTRUÇÕES:
1 Preencha o quadro acima, não deixando de assinar no local indicado.
2 A avaliação deve ser realizada em 1h40min.
3 As questões devem ser respondidas em ordem e não precisa copiar a questão.
4 A avaliação é individual.
5 Identifique a folha de resposta com seu nome.

Distribuição de pontos:
Questão
Valor
Nota
1 a 5,0 pontos

2
5,0 pontos

3 a 2,5 pontos

b
2,5 pontos

4 c 3 pontos

5
5,0 pontos

6 c 5,0 pontos

7
5,0 pontos

TOTAL
33 pontos

Questão 1: Dados números reais, tais que e . Mostre que . Quando as médias aritméticas e geométricas são iguais?

Resolução:
Como e 0 então .

Como o quadrado de qualquer número real é sempre positivo segue a desigualdade.
A igualdade é válida se, e somente , ou seja, as médias aritméticas e geométricas são iguais quando .

Questão 2: Dados e números reais, se , prove que .

Resolução:
1º caso:

.

2º caso:

3º caso:

.

4º caso:

.

Questão 3: Determine o supremo e o ínfimo dos conjuntos abaixo:

a) X = (-1, 3]

sup X = 3 e inf X = -1.
b)
sup X = inf X = 1

Questão 4 (Bônus): Prove que o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente.

Resolução:
Suponhamos que o conjunto dos números naturais seja limitado superiormente.
Então existe c = sup N.
Temos então que c – 1 não é cota superior de N, pois c é a menor da cotas superiores e c – 1 < c.
Assim existe n natural tal que c – 1 < n, isto é, c < n+1.
Como n+1 também é natural, então c não pode ser cota superior de N.
Logo N não é