Etapa 3 edo

DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER

Suponhamos que uma certa função seja representada pela série trigonométrica:

e que a série convirja uniformemente no intervalo x . Se isso acontecer, a série convergirá uniformemente para todos os valores de x. Multipliquemos a série por cos(mx), sendo m um número inteiro positivo: A série é ainda uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo: Este processo permite a determinação dos coeficientes an , desde que se conheça a função f(x), baseando-se nas importantes propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos, quais sejam: Assim, vemos que todos os termos da soma infinita (3.3) se anularão, com uma única exceção, ou seja, Esta relação nos permite calcular qualquer coeficiente am desejado, quando conhecemos a função f(x). Os Coeficientes bm são tratados de maneira semelhante, isto é, o desenvolvimento é multiplicado por sem(mx) e é integrado. As relações de ortogonalidade fornecem então que Finalmente, para obter a 0 , integramos (3.1) no intervalo (-, ), resultando que Segue-se que os coeficientes a 0 , a n e b n podem ser calculados por meio das fórmulas seguintes: Estes coeficientes a n e b n são chamados de coeficientes de Fourier da função f(x). A série trigonométrica construída a partir destes coeficientes é conhecida como a série de Fourier da função f(x). É importante observar que os coeficientes de Fourier podem ser construídos para uma grande variedade de funções, incluindo algumas descontínuas.
Convém chamar a atenção para o fato de que o período 2não é obrigatório na teoria das séries de Fourier. A substituição de x por (2π/t).t. fornece uma série com período T: Onde ω=2π/T é denominada freqüência angular fundamental da função f(t).
Reciprocamente, se conhecemos f(t), obteremos os coeficientes de Fourier: e a série de Fourier resultante deverá reproduzir f(t) no intervalo T / 2 t T / 2 . Esta forma das séries de Fourier é