Estudo dirigido de integrais

A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0,03 cm/s. O raio é de 8 cm e aumenta na razão de 0,04 cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.

Função principal: V=(π×r^(2 )×h)/3
Derivadas parciais:
∂v/∂r=(π×2r×h)/3
∂r/∂t=0,04
----------------------------------------------------
∂v/∂t=(π×r^2)/3
∂h/∂t=0,03

Taxa de variação:
∂v/∂t=((π×2r×h)/3)×0,04+ ((π×r^2)/3)×0,03
∂v/∂t=((π×2×8×14)/3)×0,04+ ((π×8^2)/3)×0,03
∂v/∂t= 2,98π+0,64π=3,62 〖cm〗^3/s.

O comprimento c, a largura l e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m, onde c e l estão aumentando a uma taxa de 0,25 m/s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 0,5 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais o volume e a área da superfície, estão variando.
Fórmula principal:
V=c ×l ×h
Derivadas Parciais:
∂v/∂c=l×h
∂c/∂t=0,25
-------------------------
∂v/∂l=c×h
∂l/∂t= 0,25
-------------------------
∂v/∂h=c×l
∂h/∂t= -0,5
∂v/∂t=10×3×0,25+5×3×(-0,5)+5×10×0,25
∂v/∂t=12,5m^3/s.

3 - Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque.

V=270m3
Fórmula para área total dos painéis:
A=2xy+2xz+2yz
Volume: xyz
270=xyz
Isolando o “z”: z=270/xy Substituindo na fórmula de área dos painéis:
A=2xy+2x 270/xy+2y 270/xy A=2xy+ 540/y+540/x
Derivadas:
∂A/∂x=2y-540/x^2

∂A/∂y=2x-540/y^2

Igualando as derivadas a zero:
2y-540/x^2 =0
2y=540/x^2
y=270/x^2

2x-540/y^2 =0
2x=540/y^2
x=270/y^2

Encontrando o valor de x: x=270/(270/x^2 )^2 x=(270x^4)/〖270〗^2 〖270〗^2 x=270x^4
270=x^3
x=3√(3&10) m.
Encontrando o valor de y: y=270/x^2 y=270/〖(3∛(10))〗^2 y=270/〖(3∛(10))〗^2 ×∛10/∛10
y=(270∛10)/90