Estudo de retas e do plano

Geometria Analítica
Estudo da Reta e do Plano
Estudo da Reta
Nesta parte estudaremos as equações da reta em várias formas usando conhecimento de vetores, tais como: equações vetoriais, simétricas, paramétricas, e reduzidas. Também estudaremos ângulos entre duas retas e interseção das duas retas.
Em termos de condições apresentaremos as condições de três pontos na mesma linha, duas retas paralelas, ortogonalidade de duas retas e coplanaridade de duas retas.

A equação (1) é a equação vetorial da reta r passando pelo ponto A e paralelo ao vetor
v.
Observações
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v é conhecido como o vetor diretor de r; t é um parâmetro; quando t vária de −∞ a +∞, P descreve a reta r; quando a reta é definida pelo dois pontos
A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), neste caso a equação da reta que passa pelo ponto A ou
B e tem a direção do vetor v = AB = (x2− x1, y2− y1, z2− z1).

Equações da Reta

Exemplo. Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,−5,2) e tem a direção do vetor v = (2,1,−4).

A seguir apresentamos equação reta em várias formas.

Resolução. Seja P=(x,y,z) um ponto genérico da reta r, então por (1) temos

Equações vetoriais
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e é paralelo ao vetor v , v ≠ 0 . Para que um ponto pertença à reta r, é necessário que os vetores AP e v sejam colineares ou paralelos, isto é,
AP = t v , onde t é um escalar, t ∈ℜ. Veja figura abaixo:

(x, y, z) = (3,−5,2) + t (2, 1,−4), a qual é a equação da reta r.
Sabemos que quando t vária de −∞ a +∞, o ponto P descreve a reta r. Escolhendo arbitrariamente t = 2, obtemos
(x, y, z) = (3,−5,2) + 2 (2, 1,−4).
Após simplificação obtemos x = 7, y = −3 e
= −6.

z

Logo, o ponto P(7,−3,−6) é um ponto da reta r.
Observe que atribuímos o valor zero para t, obtemos o ponto A, ou seja quando t=0, temos
(x,y,z) = (3,−5,2), o qual é o ponto A(3,−5,2).
Equações paramétricas

Podemos escrever
P − A = tv, ou (1)

Se P = (x,