Estudante

3.2 Integração de potências de seno e co-seno
Vamos considera quatro casos de integrais indefinidas envolvendo potências de seno e co-seno, conforme as potências sejam pares ou ímpares.
Caso 1:
, onde n­ é um inteiro ímpar.
Ilustração 1

Para a segunda integral do lado direito de (1) observe que sendo d(sen x)= =cos x dx, temos

Como a primeira integral do lado direito de (1) é sem x + C2,

Exemplo 1
Calcule

Solução

Caso 2: , onde pelo menos um dos expoentes é ímpar. A solução desse caso é semelhante à do Caso 1.
Ilustração 2

Caso 3 , onde n é um inteiro par.
O método usado no Caso 1 e no Caso 2 não funciona neste caso. Usaremos as seguintes identidades trigonométricas;

Ilustração 3

Caso 4:
, ambos m e n são pares.
A solução deste caso é semelhante à do Caso 3.
Exemplo 2
Calcule

Solução

3.3 Integração de Potências da tangente, co-tangente, secante e co-secante
Vamos lembrar as seguintes fórmulas envolvendo tangente, co-tangente, secante e co-secante:

Com essas fórmulas e as identidades trigonométricas

Podemos calcular integrais da forma

Onde m e n são inteiros não –negativos
Ilustração 1

Vamos distinguir agora vários casos das integrais da forma (1)
Caso 1: ou onde n é um inteiro positivo.
Escrevemos

Exemplo 1
Calcule

Solução

Caso 2: ou , onde n é um inteiro par positivo.
Escrevemos

Exemplo 3
Calcule
Solução

Caso 3: ou , onde n é um inteiro ímpar positivo.
Para integrar potências ímpares de secante e co-secante, usaremos integração por partes. O procedimento está ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 4
Calcule

Solução
Seja u = sec x e dv = sec2 x dx. Então e
Logo,

Somando a ambos os membros, obtemos

Caso 4: ou , onde n é um inteiro par positivo.
Exemplo 5
Calcule

Solução

Caso 5: ou , onde m é um inteiro ímpar positivo.
O