Estudante

Equações diferenciais
2º semestre 2013
Referências bibliográficas:
Matemática Superior – E. Kreyszig
Equações Diferenciais Elementares – W. Boyce e R. DiPima
Moderna Introdução a Equações Diferenciais – R. Bronson

Equações diferenciais lineares homogêneas de orden “n” com coeficientes constantes
Já foi visto que uma equação diferencial ordinária linear pode ser descrita como:

dny d n1 y dy bn ( x) n  bn1 ( x) n1  ........  b1 ( x) b 0 ( x) y  g ( x) dx dx dx Se g(x)=0, temos que a equação também é homogênea.
Se os coeficientes bn(x) forem constantes, dizemos que os coeficientes são constantes. Temos então que a equação:

dny d n1 y dy Ao n  A1 n1  ........  An1  An y  0 dx dx dx 1

é uma equação diferencial linear homogênea de ordem
“n” com coeficientes constantes

Admitindo ordem 1

dy dy A1
A0
 A1 y  0 
  dx dx y
A0

A1 ln y   x  k  y  Ce
A0



A1 x A0

Chamando
–A1/A0 =r

y  Ce rx

derivando

y  Ce rx  y´ rCerx  y´´ r 2Ce rx  y ( n)  r nCe rx
Substituindo na equação dif . linear hom. com coef. constantes

dny d n1 y dy Ao n  A1 n1  ........  An1  An y  0 dx dx dx Ao r nCe rx  A1r n1Ce rx  ........  An1rCerx  AnCe rx  0
Ce rx ( Ao r n  A1r n1  ........  An1r  An )  0
Onde:

Ao r n  A1r n1  ........  An1r  An  0
É a equação característica da equação dada. Comparando com a equação inicial

dny d n1 y dy Ao n  A1 n1  ........  An1  An y  0 dx dx dx Exercícios: dar a equação característica das equações:

d2y dy 5  6y  0 dx 2 dx d4y d2y  13 2  36 y  0
4
dx dx d2y dy 2  y 0
2
dx dx r 2  5r  6  0

r 4  13r 2  36  0

r 2  2r  1  0

1o caso equação característica admite raízes reais e distintas: Sejam r1, r2, r3, .....rn raízes da equação característica

y1  Ce

r1 x

y2  Ce r2 x

y3  Ce r 3 x

yn  Ce rn x

É solução geral da equação