estudante

Todas as quest˜es que pedem volume(mesmo se for um cilindro) devem ser feitas com integral o dupla e deve-se: esbo¸ar o s´lido em quest˜o identificando o gr´fico de f ; esbo¸ar a regi˜o do c o a a c a plano xy e represent´-la como tipo um ou dois em coordenadas cartesianas ou represent´-la em a a coordenadas polares; dizer quem ´ f (x, y) e escrever a integral dupla de acordo com o tipo de e regi˜o escolhida. Apesar de n˜o precisar calcular as integrais, eu recomendo fazer numa folha de a a rascunho para checar se n˜o h´ nenhum erro com a sua integral. a a
Quest˜o 1. Dado um tetraedro temos quatro planos, cada um contendo uma face. a (a) Quantos destes planos passam por cada v´rtice do tetraedro? e (b) Como determinar os v´rtices de um tetraedro sabendo os planos que contˆm suas faces? e e
(c) Determine os v´rtices do tetraedro limitado pelos planos x + y + z = 1, z = 0, x = 0 e e y = 0;
(d) Qual a integral dupla que d´ o volume deste tetraedro? a Quest˜o 2. Determine o volume do s´lido limitado pelos planos z = x, y = x, x + y = 2 e z = 0. a o
Quest˜o 3. Siga os passos: a (a) Esboce a superf´ cuja equa¸ao ´ z 2 + y 2 − 9 = 0; ıcie c˜ e
(b) Esboce o gr´fico da fun¸ao f (x, y) = a c˜

9 − y2;

(c) Esboce a superf´ de equa¸ao x2 + y 2 = 1; ıcie c˜
(d) Determine o volume do s´lido limitado por z 2 + y 2 − 9 = 0, x2 + y 2 = 1 e z = 0. o Quest˜o 4. Determine o volume dos dois s´lidos limitados por x2 + y 2 + 4z = 4, x2 + y 2 = a o

1
4

e z = 0.

Quest˜o 5. Queremos calcular o volume de um cone circular reto de altura h e raio R. Determine o a volume do cone pelos dois modos abaixo:
(a) Como o cone ´ circular, podemos express´-lo como z 2 /c2 = x2 + y 2 onde c ´ um n´mero e a e u
2 2
2
real positivo. Para que se tenha raio R com altura h devemos ter h /c = R donde c = h/R.
Calcule o volume do s´lido acima do circulo de raio R no plano xy e abaixo da parte superior o do cone de equa¸˜o R2 z 2 /h2 = x2