Estatística multivariada

26-01-2010

Janeiro 2010
1

Dados:
2 1 µX =  1  0

X = ( X1 , X 2 , X 3 , X 4 )
1 1 0 2 1 1  1 1 0  1 0 2 2 1 ΣX =  1  0 1 1 0 2 1 1  1 1 0  1 0 2

e

Como det ( Σ X ) = 1 ≠ 0 a matriz é não singular Coeficiente de correlação: cov ( X 1 , X 3 ) 2 ρ13 = corr ( X 1 , X 2 ) = = 2 var ( X 1 ) var ( X 3 )
2

1

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Independência dos vectores( X 1 , X 4 ) e( X 2 , X 3 ) . E das variáveis X 2 e X 3 Tem-se
1 1  Σ12 =  ≠ Ο 2×2 1 0  

e

ρ 23 =

2 2

3

Contornos de densidade: O conjunto dos contornos de densidade é dado pela seguinte expressão:

{x ∈ »
2

p

: ( x − µ ) Σ −1 ( x − µ ) = c 2

T

}
+ 3) x3 = c 2 }
4

Neste caso, obteve-se

{ x ∈ » : ( x − 3 − x )( x − 3) + ( − x + 2 x
1 3 1 1

3

2

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Cujo o gráfico é:

5

6

3

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O quadradro da distância de Mahalanobis para encontrar as regiões de ( X 2 , X 3 ) centradas na esperança, e cuja probabilidade de ocorrência está entre 0.90 e 0.95 O quadradro da distância de Mahalanobis é dado pela seguinte expressão : d m ( x 23 , µ X 23 ) =

(x

23

− µ X 23 ) Σ −123 ( x 23 − µ X 23 ) X

T

7

Onde
T 2 1 − α = P ( X 23 − µ X 23 ) Σ −123 ( X 23 − µ X 23 ) ≤ χ p ,(1−α )  X    

Neste caso, obteve-se

{x ∈ »

2

: 4.60517 ≤ ( x2 − x3 ) x2 + ( − x2 + 2 x3 ) x3 ≤ 5.991465}

8

4

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Gráfico que representa a região:

9

Distribuição de Y = C1 X + d1
Y ∼ N 3 ( µY , ΣY )

com

2  11 −3 7  µY = 6  e ΣY =  −3 3 −1     2  7 −1 5     

10

5

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É sempre possível representar W na forma W = C 2 Z + d 2 , onde Z ∼ N p ( Ο, Ι p ) .

Z =Σ
E

1 2 W −

(W − µW ) ∼ N p ( Ο, Ι p )
1 2 W

W = Σ Z + µW
C2 d2

11

Usar o resultado anterior para obter C 2 e d 2 para exprimir X com uma transformação de uma variável normal estandardizada de dimensão 4.

X

= C2 Z + d2  1.315  0.328 =   0.404   −0.038 −0.038  Z1