estatistica

1a

MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Avaliação à Distância (AD1) - 1o . semestre de 2009 - Profa. Ana Maria Farias

1. Na Figura 1 são dados os gráficos de 2 funções, f (x) e g(x). Verifique se existe algum valor de k que permita que cada uma dessas funções represente a função de densidade de alguma variável aleatória contínua X. Em caso afirmativo, determine a expressão da função de densidade e calcule os três quartis q1 , q2, q3 da distribuição.

Figura 1: Gráficos de f (x) e g(x) para a questão 1
Solução
• f (x)
A primeira condição é que k ≥ 0. Para que a área sob a curva seja 1, temos que ter
(3k) × 1 +

3k + k
1
× 1 = 1 =⇒ 3k + 2k = 1 =⇒ k = = 0, 2
2
5

Logo, se k = 0, 2 f (x) é uma função de densidade e para 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 0, 6; para
1 < x ≤ 2, f (x) é uma reta que passa pelos pontos (1; 0, 6) e (2; 0, 2):
½
0, 2 = a + 2b
=⇒ b = −0, 4 =⇒ a = 1, 0
0, 6 = a + b
Logo
f (x) =

½

0, 6 se 0 ≤ x ≤ 1
1 − 0, 4x se 1 < x ≤ 2

Como Pr(X ≤ 1) = 0, 6, o primeiro e segundo quartis de f (x) são menores que 1 e o terceiro quartil é maior que 1. Veja a Figura 2.
3
1
5
0, 6Q1 = 0, 25 =⇒ Q1 = =⇒ Q1 =
5
4
12
3
1
5
0, 6Q2 = 0, 5 =⇒ Q2 = =⇒ Q2 =
5
2
6
1

Figura 2: Cálculo dos quartis da densidade f (x)
Para o cálculo de Q3 , vemos que a área do trapézio cinza escuro tem que ser 0,15; logo
(1 − 0, 4Q3 ) + 0, 6
1, 6 − 0, 4Q3
× (Q3 − 1) = 0, 15 =⇒
× (Q3 − 1) = 0, 15 =⇒
2
2
(0, 8 − 0, 2Q3 ) × (Q3 − 1) = 0, 15 =⇒ 0, 8Q3 − 0, 8 − 0, 2Q2 + 0, 2Q3 = 0, 15 =⇒
3
√
√
1 ± 0, 24
1 ± 1 − 4 × 0, 95 × 0, 2
2
=
0, 2Q3 − Q3 + 0, 95 = 0 =⇒ Q3 =
0, 4
0, 4
As duas raizes são 3,725 e 1,275. Pelo domínio da função, segue que Q3 = 1, 275.
• g(x)
A primeira condição é que k − 1 ≥ 0, o que significa que temos que ter k ≥ 1. Para que a área seja 1, temos que ter
1
3
3
k+k−1
× 4 = 1 =⇒ 2k − 1 = =⇒ 2k = =⇒ k =
2
2
2
4
Mas este valor de k não satisfaz a condição de não negatividade. Logo, não existe valor de k que torne g(x) uma