Estatistica

Distribuições de probabilidade Discretas: Benoulli e Binomial Modelo ou Distribuição de Bernoulli
Quando executamos um experimento (ensaio) do tipo Bernoulli, associado a este ensaio, temos uma variável aleatória com o seguinte comportamento: • Suponhamos a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso ( o evento não se realiza). • • • Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1. Definimos a seguinte v.a. discreta: X : nº de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume os valores: 0, fracasso X= 1, sucesso com P(X = 0) = q e P(X = 1) = p.

Nessas condições a v.a. X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade é dada por:

P( X = x ) = p x ⋅ q 1− x
• Esperança (média) e Variância Calcularemos a média e a variância da variável com distribuição de Bernoulli.
X 0 1 P(X) q p 1 X.P(X) 0 p p X .P(X) 0 p p
2

Logo: E(X) = p

e

Var(X) = p – p2 = p(1 – p) = p.q

Ex. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X). Solução:

0 → q = 30 50 = 3 5 X = 1 → p = 20 50 = 2 5

∴

P(X = x) = (2/5)x.(3/5)1-x

E(X) = p = 2/5 Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25

1

Modelo ou Distribuição Binomial
• Se executarmos um experimento tipo Bernoulli, independentemente, “n” vezes podemos ter de “0 a n” sucessos onde :

∑ xi i =1

n

= y sucessos.

•

O número total de possíveis sucessos em “n” repetições do experimento é dado pela combinação de

 n = nº total de repetições do exp erimento n n!  y = nº de sucessos ocorridos em n repetições  =  y  y! ( n − y )! , onde     y = 0,1,2,3,K n 
• Logo se definimos a v.a. Y tal que: Y = nº de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do experimento do tipo Bernoulli. • Temos então que Y tem distribuição Binomial com parâmetros “n” e “p”, ou seja:

Y