espcex apostila matematica vol 2

Equação de 2o grau

A ssunto

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Matemática I

1. Definição

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos.

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com coeficientes numéricos a, b e c ∈ ¡ e a ≠ 0.
Ex.:
Equação
– x2 + 2x + 1 = 0
5x + x2 = 0 x2 = 0

a
–1
1
1

b
2
5
0

2

b2 − 4 ac b c b2 b 

 x + 2 a  = − a + 4 a2 ⇒  x + 2 a  = ±
2a





c
1
0
0

Finalmente temos. x= 2. Classificação

Onde: b2 – 4ac = ∆ (delta).

2.1 Incompletas
Se um dos coeficientes (b ou c) for nulo, temos uma equação do 2o grau incompleta.

Com base na demonstração anterior temos que as raízes de uma equação do 2o grau podem ser dadas por:

x=

• 1o caso: quando b = 0

– x2 + 16 = 0 ∴ x2 = 16 ∴ x = ± 16 ∴ x = ± 4

Ex. 1: 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3, b = – 7 e c = 2
∆ = b2 – 4ac = (– 7)2 – 4 · 3 · 2 = 49 – 24 = 25
Substituindo na fórmula:

Então: x’ = 4 e x” = – 4
Obs.: as raízes são simetricas, sendo assim x’ + x” = 0.

Considere a equação do 2o grau incompleta: x2 – 2x = 0 ∴ x(x – 2) = 0 como temos um produto igual a zero, então x = 0 ou x = 2.
Obs.: uma das raízes será sempre nula, sendo assim x’ · x” = 0.

2.2 Completas
A resolução de equações do 2o grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2o grau completas, ou seja, do tipo ax2
+ bx + c = 0 com a, b e c diferentes de zero.
Tal equação do 2o grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara que se baseia na seguinte fatoração: b c ax + bx + c = 0 ⇒ ax + bx = − c ⇒ x + x = − a a
2

2

Completando quadrados temos:
2

x2 +

b b2 c b2 b c b2

x+ 2 =− + 2 ⇒x+  =− + 2
4a
2a  a a 4a a 4a


− b ± ∆ −( −7) ± 25 7 ± 5
=
=
2a
2⋅3
6
7+5
7−5 2 1 x=' "
= 2e x=
= =
6
6
6 3

= x • 2o caso: quando c = 0

Partiremos da seguinte igualdade.

−b + ∆
−b − ∆ e x=
2a
2a

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

Considere a equação do 2o grau incompleta:

2

− b ± b2 − 4 ac
2a

Logo, o conjunto verdade ou solução da