Escoamento

Equação de Bernoulli Vamos considerar um fluido com densidade ρ constante, em escoamento estacionário em uma tubulação sem derivações (Fig.18).

Sejam duas porções de fluido, ambas com volume V e massa ρV, uma na posição 1 e outra na posição 2. Num referencial fixo na tubulação, as energias dessas duas porções de fluido são dadas por:
1 2 E 1 = ρV ( 2 v 1 + gy 1 )

e
1 E 2 = ρV ( 2 v 2 + gy 2 ) 2

Podemos pensar na diferença E2 − E1 como a variação da energia de uma porção de fluido que se encontra antes entre as seções 1 e 2 e depois entre as seções 1' e 2' da tubulação. Então, lembrando que essa variação de energia deve ser associada ao trabalho realizado pelo resto do fluido, podemos escrever:
E 2 − E 1 = F1∆x 1 − F2 ∆x 2

ou seja:
1 1 2 ρV ( 2 v 2 + gy 2 ) − ρV ( 2 v 1 + gy 1 ) = ( P1 − P2 ) V 2

Esta expressão pode ser rearranjada, resultando:
2 1 1 P1 + ρgy1 + 2 ρv1 = P2 + ρgy 2 + 2 ρv 2 2

Esta é a equação de Bernoulli. Outra forma de apresentá-la é a seguinte:
1 P + ρgy + 2 ρv 2 = constante

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

Exemplo 1 Vamos discutir o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente que o contém, mostrando que o líquido, saindo por dois orifícios localizados simetricamente, um a uma altura ½H + z e outro a uma altura ½H − z, tem o mesmo alcance.

Tomando elementos de volume no entorno dos pontos 1 e 2, num referencial fixo no solo, com o nível de referência para a energia potencial gravitacional (zero gravitacional) passando pelo fundo do recipiente, a equação de Bernoulli fornece:
2 1 1 1 P1 + ρgH + 2 ρv 1 = P2 + ρg ( 2 H + z ) + 2 ρv 2 2

Vamos considerar o volume de líquido dentro do recipiente como sendo muito grande. Assim, o módulo da velocidade com que a superfície livre do líquido se move para baixo é muito menor do que o módulo da velocidade com que o líquido escoa pelo orifício na parede do recipiente. Matematicamente, v1 vB, esta última expressão mostra