Erros numéricos

Erros numéricos por Mílton Procópio de Borba 1. Alguns problemas ao fazermos contas no computador
Os problemas a seguir foram analisados num Pentium, com a ajuda de pequenos programas feitos em QBasic. As listagens dos programas e os resultados aparecem no final, como anexos.

1.1 Cálculo do π
Se dobrarmos a quantidade n de lados de um polígono regular inscrito numa circunferência de raio unitário, o seu lado deixará de medir Lk para medir Lk+1 =

2 − 4 − L2 . k

0 perímetro 2pk deste polígono mede n.Lk < 2π, mas com k → ∞, teremos que n.Lk → 2π. Assim, podemos considerar que

π = lim

n.Lk . k →∞ 2
2 − 3 ≈ 3,1058.

Com n = 6, temos L0 = 1 e p0 = 6.1/2 = 3. Com n = 12, temos p1 = 12.L1/2 = 6. Em geral, para k > 0, temos que pk = 2k.3.Lk = 2k.3.

2 − 4 − L2 −1 . k

Isto dá origem à seqüência: 2.2.2. ... .2.3.Raiz(2-Raiz(2+Raiz(2+ ... Raiz(2+Raiz(3))...))). Calculando esta seqüência, p10 já registra um bom valor para π. Continuando, com 11 decimais, desde p11 até p22 são registrados os mesmos valores, depois os seguintes valores de pk vão se degenerando até que de p32 em diante, temos valores zero (ver Anexos 1 e 2).

1.2 Derivada da Função ln usando diferenças finitas
Por definição, a derivada da função In (logaritmo natural) num ponto x é dada por: f ‘(x) = lim In(x + h) - In(x), que sabemos valer 1/x. h 0 h -20 Foi calculado este quociente com h = dx variando de 0.1 até 10 , obtendo resultados cada vez -6 melhores (com 7 decimais), quando h decrescia até 10 . Para h menores, os resultados foram piores e terminaram em zero (ver Anexo 3).

1.3 A soma parcial da série geométrica ∞ 1 -21 -10 É bem conhecido que a série ∑ n converge para 1/2. Como 3 ≈ 2,868 x 10 , queremos somar 3 n =1 as 20 primeiras parcelas e, com 10 dígitos, conseguir uma resposta bem perto de 0,5. -20 Obtivemos que 1/3 + 1/9 + ... + 3 = 0,4999999702, enquanto que a soma em ordem contrária, -20 -19 3 + 3 + ... + 1/3 = 0,50000000000 (ver Anexo 4).

1.4 Somas sucessivas: