erros cometidos em hipóteses

Erros cometidos nos testes de hipóteses
São dois os tipos de erros que podemos cometer na realização de um teste de hipóteses:

Rejeitar a hipótese $ H_0 $, quando ela é verdadeira.
Não rejeitar a hipótese $ H_0 $, quando ela é falsa.
A Tabela a seguir resume as situações acima.

Aceitar H0 Rejeitar H0
H0 verdadeira Decisão correta Erro do tipo I
H0 falsa Erro do tipo II Decisão correta
Se a hipótese $ H_0 $ for verdadeira e não rejeitada ou falsa e rejeitada, a decisão estará correta. No entanto, se a hipótese $ H_0 $ for rejeitada sendo verdadeira, ou se não for rejeitada sendo falsa, a decisão estará errada. O primeiro destes erros é chamado de Erro do Tipo I e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega $ \alpha $ (alfa); o segundo é chamado de Erro do Tipo II e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega $ \beta $ (beta). Assim temos,

\[\alpha=\mathbb{P}(\hbox{Erro do tipo I})=P(\hbox{rejeitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{verdadeira});\]

\[\beta=\mathbb{P}(\hbox{Erro do tipo II})=P(\hbox{aceitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{falsa}).\]
Considere um teste unilateral dado pelas hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.\]
Neste caso, a região de rejeição é determinada por $ \{\overline{X} \ \textless \ X_C\} $, e a interpretação dos erros pode ser vista como:

\[\alpha=\mathbb{P}(\overline{X} \ \textless \ X_C|\mu=\mu_0);\]

\[\beta=\mathbb{P}(\overline{X} \ \textgreater \ X_C|\mu \ \textless \ \mu_0).\]
A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades, $ \alpha $ e $ \beta $, são próximas de zero. No entanto, é fácil ver que a medida que diminuimos $ \alpha $, $ \beta $ aumenta. A Figura a seguir apresenta esta relação.

Para um teste de hipóteses do tipo acima, onde estamos interessados em testar a média de uma população, utilizamos a expressão

\[Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}},\] que é