equações

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR www.professorwaltertadeu.mat.br Exercícios de Equações algébricas – 2011 - GABARITO

1) Verifique quais são os números do conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} que são raízes da equação:

x4 - 4x3 - x2 + 16x – 12 = 0.
Solução. Basta substituir cada número na equação no lugar da variável x e verificar se o resultado é nulo.
i) x = -2: (-2)4 – 4.(-2)3 – (-2)2 + 16.(-2) – 12 = 16 + 32 – 4 – 32 – 12 = 48 – 48 = 0. (é raiz) ii) x = -1: (-1)4 – 4.(-1)3 – (-1)2 + 16.(-1) – 12 = 1 + 4 – 1 – 16 – 12 = 5 – 29 = - 24 ≠ 0. (não é raiz) iii) x = 0: (0)4 – 4.(0)3 – (0)2 + 16.(0) – 12 = - 12 ≠ 0. (não é raiz) iv) x = 1: (1)4 – 4.(1)3 – (1)2 + 16.(1) – 12 = 1 – 4 – 1 + 16 – 12 = 17 – 17 = 0. (é raiz)
v) x = 2: (2)4 – 4.(2)3 – (2)2 + 16.(2) – 12 = 16 – 32 – 4 + 32 – 12 = 48 – 48 = 0. (é raiz) vi) x = 3: (3)4 – 4.(3)3 – (3)2 + 16.(3) – 12 = 81 – 108 – 9 + 48 – 12 = 129 – 129 = 0. (é raiz)

2) Resolva a equação 2x4 - 7x3 + 5x2 - 7x + 3 = 0, sabendo que e 3 são raízes.
Solução. A equação é de grau 4. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini duas vezes encontramos uma equação de grau 2, cuja solução sai pela fórmula correspondente.
O quociente é Q(x) = 2x2 + 2. Encontrando as raízes, vem:

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3) Qual o menor grau que pode ter uma equação que tenha por raízes 2, 3i, 1+ i?
Solução. O teorema das raízes complexas garante que se um complexo é raiz de uma equação, então seu conjugado também o é. De acordo com esse resultado, as raízes da equação mencionada são:
{2, 3i, - 3i, 1 + i, 1 – i}. Como há cinco raízes, o menor grau pelo teorema fundamental da álgebra, será 5.

4) Forme uma equação de coeficientes reais de menor grau possível que tenha por raízes 1 e (2 – i).
Solução. Pelo teorema das raízes complexas, as raízes são: {1, 2 – i, 2 + i}. Considerando