Equações Modelos matemáticos

1) Seja de um fluido localizado entre dois cilindros concêntricos de raio R e KR, onde 0 < K< 1. O fluido é arrastado pelo cilindro central, que se movimenta com velocidade V na direção de seu comprimento. Assumindo que os cilindros têm comprimento infinito, ou seja, que os efeitos de entrada e saída são desprezíveis, que o escoamento é completamente desenvolvido e estacionário, que o fluido é newtoniano e incompressível com viscosidade μ e densidade ρ e que a força peso é desprezível:
a) Utilize a equação da continuidade para mostrar que Vr = 0 quando o escoamento é completamente desenvolvido;
b) Escreva a equação de Navier-Stokes na direção do escoamento, simplifique de acordo com as hipóteses feitas e adimensionalize a equação final (como escala de comprimento utilize apenas o raio externo – o raio interno não deve ser utilizado);
c) Utilizando a equação anterior, mostre que o gradiente de pressão é constante, dado por uma constante de separação;
d) Defina as condições de contorno e encontre o perfil de velocidades em função do gradiente de pressão, fazendo um esboço do mesmo; encontre também o campo tensorial de tensões1 e a vazão total de fluido no vão;
e) Encontre a força por unidade de comprimento exercida pelo fluido no cilindro externo e interno;
2) O viscosímetro de Couette é utilizado para medida de viscosidade em líquidos poliméricos, metálicos e suspensões cerâmicas. Neste aparelho, o líquido é inserido entre dois cilindros concêntricos de raio R e KR (K < 1), onde o cilindro interno gira com velocidade angular Ω e o cilindro externo permanece imóvel. Assumindo novamente que os cilindros têm comprimento infinito, ou seja, que os efeitos de ponta são desprezíveis, que o escoamento atingiu estado estacionário, que o fluido é newtoniano e incompressível com viscosidade μ e densidade ρ e que a força peso é desprezível:
a) Utilize a equação da continuidade para mostrar que Vθ é apenas função de r e que Vr = 0;
b) Escreva a equação de Navier-Stokes