Equações lineares

Aplicação de equações lineares - Crescimento e decrescimento.
2. Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará?

Resposta: Triplicará em 10 anos.
Meia-vida
3. O isótopo de chumbo, PB-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES
4. A população de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor inicial
, em que é medido em meses. Qual é o valor limite da população? Quando a população será igual a metade desse valor limite?

Aplicações diversas
5. A altura da água que está fluindo de um orifício no fundo de um tanque é dada por onde , é a área da seção transversal da água e é a área da seção transversal do orifício. Resolva a equação diferencial se a altura inicial da água era 20m, e . Quando o tanque estará vazio?

Quando o tanque estiver vazio a altura será zero. Portanto

Exemplo: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo.
Solução: Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial.
Resolvendo a equação dQ/dt = - k Q(t) temos que:
Q(t) = Qo e –k.t e, para t = 16, Q(16) = ½Qo, logo e -16.k = ½.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos k = [ln(2)]/16 = 0,0433 dias-1e dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer instante: Q(t) = Qo e -0,0433 t
Para t = 30 dias e Q(30) = 30 g: Qo = 30/e -0,0433x30 ≅ 110 g