Equações Diofantinas

Equações Diofantinas

Desde a antiguidade sabe-se que a procura de todos os inteiros positivos que satisfazem a identidade x² + y²= z² é equivalente ao problema de se determinar todos os triângulos retângulos cujos lados são inteiros. Tais ternas são denominadas Pitagóricas e a equação x² + y² = z², cujas soluções são inteiros positivos, é chamada de equação Diofantina. Esta equação pode ser generalizada para xⁿ + yⁿ = zⁿ, onde n é um número natural e n > 2. É conhecida como equação de Fermat, a mais famosa da matemática e será tema de algumas de nossas reflexões. Um outro exemplo famoso de equação Diofantina é a curva de Fibonacci, isto é, o sistema de equações x² + y² = z², x² - y² = t², que foi inicialmente estudado em 1220 por Leonardo de Pisa mais conhecido como Fibonacci.
O matemático grego Diophantus de Alexandria (4o Século A.C.) foi o primeiro a investigar o problema de se determinar soluções inteiras de equações, particularmente os casos em que o número de variáveis é maior que o número de equações. Diophantus contentava-se em encontrar uma única solução em vez de todas as soluções, e permitia soluções fracionárias em vez de soluções inteiras. Entretanto essa distinção é irrelevante: por exemplo, considere a equação x² + y² = z². Se uma solução fracionária é obtida, então a partir dela obtém-se uma solução inteira. Reciprocamente, se uma solução inteira é encontrada, obtém-se a partir dela uma fracionária. Por exemplo, da solução (3,4,5) obtemos a solução (3/6,4/6,5/6), isto é, (1/2,2/3,5/6) e vice-versa achando o mínimo múltiplo comum. Deve-se a Diophantus a idéia fundamental de estudar as soluções inteiras, e alguns teoremas básicos, sobre a representação de números como soma de quadrados, dos quais conhecia as demonstrações parcialmente, e outros cujas demonstrações desconhecia.
O estudo das equações Diofantinas é um dos mais belos e interessantes, e também um dos mais difíceis, pois em sua essência encontram-se as ligações profundas e