Equações diferenciais

Cálculo Numérico
Equações Diferenciais Ordinárias

Equação Diferencial
• É uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).
• A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade). Equação Diferencial
• Exemplo:
𝑑𝑦
= 3𝑥 2 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 3𝑥 2 − 4𝑥 + 1 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 3

𝑥 2 𝑑𝑥 − 4

𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 𝐶

𝑥𝑑𝑥 +

𝑑𝑥 + 𝐶

Introdução
• Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) ocorrem com muita frequência na descrição de fenômenos da natureza.

Problema de Valor Inicial (PVI)
• Do cálculo se conhece a forma com que se apresenta uma equação diferencial ordinária de ordem n:

y

( n)

 f ( x, y, y' , y ,..., y
( 2)

( n1)

)

onde:

dl y yl  l dx l=1,2,...,n e x  [a, b] e y:[a, b]  R

Problema de Valor Inicial (PVI)
• Exemplo:

y ( 2)  3 y (1)  2 y
É uma EDO de ordem 2 com:

f ( x, y, y )  3 y  2 y
'

(1)

Problema de Valor Inicial (PVI)
• Seja o PVI
 y ( 2)  3 y (1)  2 y

 y (0)  1
 y ' (0)  0


É um PVI de 2a. ordem

Problema de Valor Inicial (PVI)
• Os PVIs de ordem superior à unidade podem ser reduzidos a sistemas de PVIs de primeira ordem à custa de variáveis auxiliares. • Ex.:
– Reduzir a sistema de PVIs de primeira ordem o PVI  y ( 2)  3 y (1)  2 y


 y (0)  1
 y ' (0)  0


Problema de Valor Inicial (PVI)
 y  3y  2 y

 y (0)  1
 y ' (0)  0

( 2)

(1)

• Basta fazer y(1)=z; têm-se y(2)=z(1) e z(0)=0
• O sistema será, então:
(1)

y  z
 ( 0)
 y  1
 (1)
 z  3z  2 y
 z ( 0)  0


Problema de Valor Inicial (PVI)
• Condições para solução única:
Se a função real f(x,y) satisfaz:
(1) É definida e contínua na faixa a  x  b,  y   , onde a e b são finitos
(2) Existe uma