Equações diferenciais

Sistemas de Equacoes Lineares de 1a ordem
¸˜

1

Lista 1

UFES - Universidade Federal do Esp´rito Santo ı CCA - Centro de Ciˆ ncias Agr´ rias e a
Departamento de Matem´ tica Pura e Aplicada a Lista 1
Equacoes Diferenciais II
¸˜
Prof Paulo Henrique Souza da Costa

1. Considere a equacao y′′ − 4y′ + 4y = 0.
¸˜
(a) Transforme a equacao acima em um sistema de equacoes de primeira ordem fazendo x1 = y e x2 = y′ . Encontre o sistema
¸˜
¸˜ x1 . de equacoes X’= AX satisfeito por X =
¸˜
x2
(b) Resolva o sistema de equacoes X’= AX do item anterior e encontre a solucao de y′′ − 4y′ + 4y = 0, usando a solucao do
¸˜
¸˜
¸˜
sistema de equacoes.
¸˜
2. Considere a equacao y′′ − 4y′ + 5y = 0.
¸˜
(a) Transforme a equacao acima em um sistema de equacoes de primeira ordem fazendo x1 = y′ − y e x2 = y. Encontre o
¸˜
¸˜ x1 . sistema de equacoes X’= AX satisfeito por X =
¸˜
x2
(b) Resolva o sistema de equacoes X’= AX do item anterior e encontre a solucao de y′′ − 4y′ + 5y = 0, usando a solucao do
¸˜
¸˜
¸˜
sistema de equacoes.
¸˜
3.

(a) Mostre que eAt .eAs = eA(t+s) .
´
´
DICA: Mostre que, se s e fixo e t e vari´ vel, ent˜ o U(t) = eAt .eAs e V(t) = eA(t+s) s˜ o solucoes do PVI a a a ¸˜

X′ = AX
X(0) = eAs

(b) Mostre que eAt .eA(-t) = I. Conclua que eA(-t) = [eAt ]−1

(c) Mostre que eAt .eA(-s) = eA(t-s) .
4. Mostre que se A e B s˜ o matrizes comutativas ent˜ o e(A+B)t = eAt .eBt a a
X′ = (A + B)X
X(0) = I

DICA: Mostre que U(t) = e(A+B)t e V(t) = eAt .eBt s˜ o solucoes do PVI a ¸˜

´
´
5. Se A e uma matriz diagonal com elementos diagonais a1 , a2 , ..., an , ent˜ o eAt e tamb´ m uma matriz diagonal com elementos a e
´
diagonais ea1 t , ea2 t , ..., ean t . Mostre este resultado para matrizes 4 x 4, isto e, mostre que se a matriz

 a1





 0




D=


 0







0

0

0

a2

0

0

a3

0

0

 a1 t

0 
 e









