Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes Homogêneos.
Primeiro passo: Trocar (ay’’+by’+cy=0) por (ar²+br+c=0), feito isso bata calcular as raízes.
Segundo passo: Dependendo do tipo de raiz encontrado teremos um tipo de equação Homogênea diferente, como mostra na Tabela 1.
Raízes (r1 e r2) Equação Homogênea (Yh)
Duas raízes Reais (r1≠r2): Yn=C1*e^((r1*t))+ C2*e^((r2*t))
Somente uma raíz (Δ=0): Yn=C1*e^((r*t))+ t*C2*e^((r*t))
Raízes Complexas (r1=d+k*i e r2=d-k*i): Yn=e^((d*t))*(C1*cos(k*t)+ C2* sen(k*t))
Tabela 1

Terceiro passo: Vamos determinar a solução particular, para isso devemos observar a função que está à direita da equação. Lembrando que quando as funções estão (multiplicando/Dividindo/Somando/Subtraindo) sua solução particular também entra (multiplicando/Dividindo/Somando/Subtraindo). Para saber as soluções particulares basta olhar na Tabela 2.
Funções Solução particular (Yp)
Constante (nº qualquer): a e^(f(t)) e^(f(t)) t² a*t²+b*t+c cos(f(t)) a*cos(f(t))+b*sen(f(t)) sen(f(t)) a*cos(f(t))+b*sen(f(t))
Tabela 2

Quarto passo: Após escrever a Solução(Yp) particular verifique se ela não coincide com a Solução da Homogênea(Yh),caso coincida basta acrescentar um (t),isto é, aumentar o grau da função.
Quinto passo: Agora basta derivar duas vezes, para encontrar o (Yp’) e o (Yp’’). Feito isso, substitua-os na equação Original (Equação dada no enunciado).
Sexto passo: Após substituir basta isolar cada termo separadamente e encontrar os valores das constantes (a, b, c, d, e, f,...). Substitua-os no (Yp).
Sétimo passo: Agora que temos (Yp) e (Yh) para finalizar o problema basta substituir na equação Geral (Y= Yp+ Yh).
Allyff Carneiro de Sousa.
Equações Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes Homogêneos.
Primeiro passo: Trocar (ay’’+by’+cy=0) por (ar²+br+c=0), feito isso bata calcular as raízes.
Segundo passo: Dependendo do tipo de raiz encontrado teremos um tipo de equação Homogênea diferente,